Hector e Magda precisav am encontrar uma fórmula explícita para a prc ogressão 125,25,5,1,ldots , na qual o primeiro termo deve ser f(1) Hector disse que a fórmula é f(n)=625cdot ((1)/(5))^n e Magda disse que a fórmula é f(n)=125cdot ((1)/(5))^n

Para determinar qual das fórmulas propostas por Hector e Magda é a correta, vamos analisar os termos da progressão fornecida: $125, 25, 5, 1, \ldots$.<br /><br />Podemos observar que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por $\frac{1}{5}$. Portanto, a fórmula correta para a progressão é $f(n) = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$.<br /><br />Vamos verificar as fórmulas propostas:<br /><br />1. **Hector**: $f(n) = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n}$<br /> - Para $n = 1$: $f(1) = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 625 \cdot \frac{1}{5} = 125$<br /> - Para $n = 2$: $f(2) = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 625 \cdot \frac{1}{25} = 25$<br /> - Para $n = 3$: $f(3) = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 625 \cdot \frac{1}{125} = 5$<br /> - Para $n = 4$: $f(4) = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4 = 625 \cdot \frac{1}{625} = 1$<br /><br /> A sequência obtida é: $125, 25, 5, 1, \ldots$, que corresponde à progressão fornecida.<br /><br />2. **Magda**: $f(n) = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n}$<br /> - Para $n = 1$: $f(1) = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 125 \cdot \frac{1}{5} = 25$<br /> - Para $n = 2$: $f(2) = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 125 \cdot \frac{1}{25} = 5$<br /> - Para $n = 3$: $f(3) = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 125 \cdot \frac{1}{125} = 1$<br /> - Para $n = 4$: $f(4) = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4 = 125 \cdot \frac{1}{625} = \frac{1}{5}$<br /><br /> A sequência obtida é: $25, 5, 1, \frac{1}{5}, \ldots$, que não corresponde à progressão fornecida.<br /><br />Portanto, a fórmula correta é a proposta por Hector: $f(n) = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n}$.