Exitem diferentes técnicas utilizadas na resolução de integrais Determine a familia de funçoes representada por int (5)/(x^2)-25 A 5lnvert (x-5)/(x+5)vert +k k real. (1)/(7) B arctg(x+5)+k k real. C (1)/(2)lnvert (x-5)/(x+5)vert +k k real. D 5arctg(x-5)+k,xreal E lnvert (x-5)/(x+5)vert +k k real. (1)/(7)

Para resolver a integral \(\int \frac{5}{x^2 - 25} \, dx\), primeiro notamos que \(x^2 - 25\) pode ser escrito como \((x - 5)(x + 5)\). Então, podemos reescrever a integral como:<br /><br />\[<br />\int \frac{5}{(x - 5)(x + 5)} \, dx<br />\]<br /><br />Podemos usar a decomposição em fracionários parciais para resolver essa integral. Supondo que:<br /><br />\[<br />\frac{5}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 5}<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \((x - 5)(x + 5)\), obtemos:<br /><br />\[<br />5 = A(x + 5) + B(x - 5)<br />\]<br /><br />Isso resulta na equação:<br /><br />\[<br />5 = Ax + 5A + Bx - 5B<br />\]<br /><br />\[<br />5 = (A + B)x + 5A - 5B<br />\]<br /><br />Comparando os coeficientes, temos:<br /><br />\[<br />A + B = 0<br />\]<br /><br />\[<br />5A - 5B = 5<br />\]<br /><br />Resolvendo essas equações, obtemos:<br /><br />\[<br />A + B = 0<br />\]<br /><br />\[<br />A - B = 1<br />\]<br /><br />Somando as duas equações, temos:<br /><br />\[<br />2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Substituindo \(A\) na primeira equação:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} + B = 0 \implies B = -\frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, a decomposição em fracionários parciais é:<br /><br />\[<br />\frac{5}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1/2}{x - 5} - \frac{1/2}{x + 5}<br />\]<br /><br />Agora, integramos cada termo separadamente:<br /><br />\[<br />\int \frac{1/2}{x - 5} \, dx - \int \frac{1/2}{x + 5} \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 5} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 5} \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \ln |x - 5| - \frac{1}{2} \ln |x + 5| + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é uma constante de integração.<br /><br />Podemos combinar os logaritmos usando a propriedade dos logaritmos:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \ln |x - 5| - \frac{1}{2} \ln |x + 5| = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 5} \right|<br />\]<br /><br />Portanto, a solução final é:<br /><br />\[<br />\int \frac{5}{x^2 - 25} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 5} \right| + C<br />\]<br /><br />Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é:<br /><br />C) \(\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 5} \right| + k\), \(k\) real.