Derivadas parciais de funções de duas variáveis podem ser empregadas para o estudo de problemas de máximos e mínimos. Com base nessas afirmações analise os itens que seguem. I. Uma função f de duas variáveis reais tem um ponto de máximo local em (a,b) se f_(x)(a,b)=f_(y)(a,b)=0,H(a,b)gt 0 e f_(xx)(a,b)lt 0 II. Uma função f de duas variáveis reais tem um ponto de mínimo local em (a,b) se f_(x)(a,b)=f_(y)(a,b)=0,H(a,b)gt 0ef_(xx)(a,b)gt 0 III. Uma função f de duas variáveis reais possui um ponto de máximo global em (a,b) se f_(x)(a,b)=f_(y)(a,b)=0,H(a,b)lt 0 Assinale a alternativa correta Apenas os itens I e III estão corretos Apenas o item I está correto Apenas o item II está correto Apenas o item III está correto Apenas os itens I e II estão corretos

alternativa correta é: Apenas o item II está correto.

Explicação: O item II está correto, pois uma função f de duas variáveis reais tem um ponto de mínimo local em (a,b) se f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0, H(a,b) > 0 e f_xx(a,b) > 0. Isso significa que a função tem uma derivada parcial nula em (a,b), a segunda derivada parcial em relação a x é positiva e a função tem uma concavidade para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.

O item I está incorreto, pois a condição f_xx(a,b) < 0 indica uma concavidade para baixo, o que corresponde a um ponto de máximo local, mas a condição H(a,b) > 0 não é relevante para determinar um máximo local.

O item III está incorreto, pois a condição H(a,b) < 0 indica uma concavidade para baixo, o que corresponde a um ponto de máximo local, mas não garante que seja um máximo global. Além disso, a condição f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0 não é suficiente para determinar um ponto de máximo global.