CALCULE A DERIVADA DIRECIONAL DA fUNCADA [ f^prime(x, y, z)=x^4+y^3-z^5 a=(-1,1,0) u=((1)/(sqrt(2)), 0, (1)/(sqrt(2))) ]

Para calcular a derivada direcional da função \( f(x, y, z) = x^4 + y^3 - z^5 \) na direção do vetor \( a = (-1, 1, 0) \) e na direção do vetor unitário \( u = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \), podemos usar a fórmula da derivada direcional:<br /><br />\[<br />D_{u}f(a) = \nabla f(a) \cdot u<br />\]<br /><br />onde \( \nabla f(a) \) é o gradiente de \( f \) avaliado em \( a \) e \( \cdot \) representa o produto escalar.<br /><br />Primeiro, calculamos o gradiente de \( f \):<br /><br />\[<br />\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (4x^3, 3y^2, -5z^4)<br />\]<br /><br />Avaliamos o gradiente em \( a = (-1, 1, 0) \):<br /><br />\[<br />\nabla f(-1, 1, 0) = (4(-1)^3, 3(1)^2, -5(0)^4) = (-4, 3, 0)<br />\]<br /><br />Agora, calculamos o produto escalar entre \( \nabla f(-1, 1, 0) \) e \( u \):<br /><br />\[<br />D_{u}f(a) = (-4, 3, 0) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{-4}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{-4 + 3}{\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}<br />\]<br /><br />Portanto, a derivada direcional da função \( f(x, y, z) = x^4 + y^3 - z^5 \) na direção do vetor \( a = (-1, 1, 0) \) e na direção do vetor unitário \( u = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) é \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \).