1. (2,0 pontos)Resolva as equações homogêneas de segunda ordem: y''-6y'+8y=0 y''+y'+(1)/(4)y=0

Para resolver as equações homogêneas de segunda ordem dadas, podemos usar o método da característica.<br /><br />1. Para a primeira equação $y'' - 6y' + 8y = 0$, a característica é $r^2 - 6r + 8 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes $r = 2$ e $r = 4$. Portanto, a solução geral para essa equação é $y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{4x}$, onde $c_1$ e $c_2$ são constantes arbitrárias.<br /><br />2. Para a segunda equação $y'' + y' + \frac{1}{4}y = 0$, a característica é $r^2 + r + \frac{1}{4} = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes $r = -\frac{1}{2}$ e $r = -\frac{1}{2}$. Portanto, a solução geral para essa equação é $y(x) = (c_1 + c_2 x) e^{-\frac{x}{2}}$, onde $c_1$ e $c_2$ são constantes arbitrárias.<br /><br />Portanto, as soluções gerais para as equações dadas são:<br /><br />1. $y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{4x}$<br />2. $y(x) = (c_1 + c_2 x) e^{-\frac{x}{2}}$