3. Sejam as matrizos: A=(} 1&3 2&0 -1&4 ) a) Acdot B b) Bcdot A c) Acdot C d) B^2 c) Bcdot A^2

Vamos corrigir e detalhar cada parte da questão:

a) $A \cdot B$

Para multiplicar $A$ por $B$, precisamos que o número de colunas de $A$ seja igual ao número de linhas de $B$. No entanto, $A$ é uma matriz 3x2 e $B$ é uma matriz 2x2, então a multiplicação $A \cdot B$ não é possível.

b) $B \cdot A$

Para multiplicar $B$ por $A$, precisamos que o número de de $B$ seja igual ao número de linhas de $A$. No entanto, $B$ é uma matriz 2x2 e $A$ é uma matriz 3x2, então a multiplicação $B \cdot A$ não é possível.

c) $A \cdot C$

Para multiplicar $A$ por $C$, precisamos que o número de colunas de $A$ seja igual ao número de linhas de $C$. $A$ é uma matriz 3x2 e $C$ é uma matriz 2x1, então a multiplicação $A \cdot C$ é possível. Vamos calcular:

$$A \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 4 + 0 \cdot (-1) \\ -1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 8 + 0 \\ -4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}$$

Portanto, $A \cdot C = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}$.

d) $B^2$

Para calcular $B^2$, multiplicamos $B$ por si mesma:

$$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3 & 2 + 1 \\ 6 + 3 & 3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & 3 \\ 9 & 4 \end{pmatrix}$$

Portanto, $B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{pmatrix}$.

e) $B \cdot A^2$

Primeiro, precisamos calcular $A^2$. No entanto, $A$ é uma matriz 3x2, então a multiplicação $A^2$ não é possível.

Portanto, $B \cdot A^2$ não é possível.

Resumindo:
a) $A \cdot B$ não é possível.
b) $B \cdot A$ não é possível.
c) $A \cdot C = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}$.
d) $B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{pmatrix}$.
e) $B \cdot A^2$ não é possível.