Demonstrar (} n k ) x!+3(x-2)! 31

Para demonstrar a igualdade $(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac {n-k+1}{k}(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$, vamos usar a definição de combinação.<br /><br />A combinação $(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )$ representa o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos, sem levar em consideração a ordem.<br /><br />A expressão $(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$ representa o número de maneiras de escolher k-1 elementos de um conjunto de n elementos, sem levar em consideração a ordem.<br /><br />A expressão $\frac {n-k+1}{k}$ é um fator que ajusta a relação entre as combinações $(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )$ e $(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$.<br /><br />Vamos demonstrar a igualdade passo a passo:<br /><br />$(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac {n-k+1}{k}(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$<br /><br />Podemos reescrever a expressão da seguinte forma:<br /><br />$(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac {n-k+1}{k}(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $k$:<br /><br />$k(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=(n-k+1)(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$<br /><br />Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:<br /><br />$k(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=(n-k+1)(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$<br /><br />$k(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=(n-k+1)(\frac{n!}{(k-1)!n!})$<br /><br />$k(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac{(n-k+1)n!}{(k-1)!n!}$<br /><br />$k(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac{n-k+1}{k-1}$<br /><br />$k(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac{n-k+1}{k}$<br /><br />Portanto, a igualdade $(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix} )=\frac {n-k+1}{k}(\begin{matrix} n\\ k-1\end{matrix} )$ está demonstrada.