08. Resolva a equação 11. A_(n,2)=3cdot C_(n+1,4)

Para resolver a equação \( A_{n,2} = 3 \cdot C_{n+1,4} \), precisamos entender o que \( A_{n,2} \) e \( C_{n+1,4} \) representam. <br /><br />- \( A_{n,2} \) é um elemento da matriz \( A \) na linha \( n \) e na coluna 2.<br />- \( C_{n+1,4} \) é um elemento da matriz \( C \) na linha \( n+1 \) e na coluna 4.<br /><br />Vamos assumir que \( A \) e \( C \) são matrizes de combinação, onde \( A_{n,k} \) representa o coeficiente binomial \( \binom{n}{k} \) e \( C_{n,k} \) representa o coeficiente binomial \( \binom{n+1}{k} \).<br /><br />A equação dada é:<br /><br />\[ \binom{n}{2} = 3 \cdot \binom{n+1}{4} \]<br /><br />Vamos calcular os coeficientes binomiais envolvidos:<br /><br />1. \(\binom{n}{2}\) é o coeficiente binomial para \( n \) escolhendo 2, que é:<br /> \[<br /> \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}<br /> \]<br /><br />2. \(\binom{n+1}{4}\) é o coeficiente binomial para \( n+1 \) escolhendo 4, que é:<br /> \[<br /> \binom{n+1}{4} = \frac{(n+1)!}{4!(n+1-4)!} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}<br /> \]<br /><br />Agora, substituímos esses valores na equação original:<br /><br />\[<br />\frac{n(n-1)}{2} = 3 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}<br />\]<br /><br />Simplificamos a direita da equação:<br /><br />\[<br />\frac{n(n-1)}{2} = \frac{3(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8}<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 8 para eliminar o denominador:<br /><br />\[<br />4n(n-1) = (n+1)n(n-1)(n-2)<br />\]<br /><br />Podemos cancelar \( n(n-1) \) de ambos os lados:<br /><br />\[<br />4 = (n+1)(n-2)<br />\]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[<br />4 = n^2 - n - 2<br />\]<br /><br />\[<br />n^2 - n - 6 = 0<br />\]<br /><br />Fatorando a equação:<br /><br />\[<br />(n-3)(n+2) = 0<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\[<br />n = 3 \quad \text{ou} \quad n = -2<br />\]<br /><br />Como \( n \) deve ser um número inteiro não negativo, a única solução válida é:<br /><br />\[<br />n = 3<br />\]<br /><br />Portanto, a solução para a equação é \( n = 3 \).