RESOLUER USANDO O MERTÓOOO DOQ SABSTITUICAO [ int_(1)^6 (operatorname(Ln) x)/(x) d x ]

Para resolver a integral \( \int_{1}^{6} \frac{\operatorname{Ln} x}{x} d x \), podemos usar a propriedade de integração por partes. Vamos aplicar essa propriedade:<br /><br />Seja \( u = \operatorname{Ln} x \) e \( dv = \frac{1}{x} dx \). Então, \( du = \frac{1}{x} dx \) e \( v = \operatorname{Ln} x \).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes \( \int u dv = uv - \int v du \), temos:<br /><br />\( \int_{1}^{6} \frac{\operatorname{Ln} x}{x} d x = \left. \operatorname{Ln} x \cdot \operatorname{Ln} x \right|_{1}^{6} - \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x \).<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \int_{1}^{6} \frac{\operatorname{Ln} x}{x} d x = \left. \operatorname{Ln}^2 x \right|_{1}^{6} - \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x \).<br /><br />Agora, precisamos resolver a integral restante \( \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x \). Podemos usar novamente a propriedade de integração por partes:<br /><br />Seja \( u = \operatorname{Ln} x \) e \( dv = \frac{1}{x} dx \). Então, \( du = \frac{1}{x} dx \) e \( v = \operatorname{Ln} x \).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />\( \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x = \left. \operatorname{Ln} x \cdot \operatorname{Ln} x \right|_{1}^{6} - \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x \).<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x = \left. \operatorname{Ln}^2 x \right|_{1}^{6} - \int_{1}^{6} \operatorname{Ln} x \cdot \frac{1}{x} d x \).<br /><br />Observando que a integral restante é a mesma, podemos concluir que:<br /><br />\( \int_{1}^{6} \frac{\operatorname{Ln} x}{x} d x = \left. \operatorname{Ln}^2 x \right|_{1}^{6} \).<br /><br />Agora, podemos calcular os limites de integração:<br /><br />\( \left. \operatorname{Ln}^2 x \right|_{1}^{6} = \operatorname{Ln}^2(6) - \operatorname{Ln}^2(1) \).<br /><br />Como \( \operatorname{Ln}(1) = 0 \), temos:<br /><br />\( \operatorname{Ln}^2(6) - \operatorname{Ln}^2(1) = \operatorname{Ln}^2(6) \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\( \int_{1}^{6} \frac{\operatorname{Ln} x}{x} d x = \operatorname{Ln}^2(6) \).