Pergunta
![lim _((x, y) arrow(0,0)) (x^3 y)/(x^6)+y^(2)](https://static.questionai.br.com/resource%2Fqaiseoimg%2F202501%2Flim-x-y-arrow00-x3-yx6y2-tvZekBuyok0h.jpg?x-oss-process=image/resize,w_558,h_500/quality,q_35/format,webp)
lim _((x, y) arrow(0,0)) (x^3 y)/(x^6)+y^(2)
Solução
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KalineElite · Tutor por 8 anos
Responder
Para encontrar o limite da função \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} quando (x, y) tende a (0,0) , podemos usar a técnica de polarização, substituindo x = r \cos(\theta) e y = r \sin(\theta) , onde r é a distância radial e \theta é o ângulo polar.
Substituindo essas expressões na função original, temos:
\frac{(r \cos(\theta))^3 (r \sin(\theta))}{(r \cos(\theta))^6 + (r \sin(\theta))^2}
Simplificando, obtemos:
\frac{r^4 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^6 \cos^6(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)}
Dividindo o numerador e o denominador por r^2 , temos:
\frac{r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^6(\theta) + \sin^2(\theta)}
Agora, podemos tomar o limite quando r tende a zero. Como o denominador tende a zero mais rapidamente do que o numerador, o limite é zero:
\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^6(\theta) + \sin^2(\theta)} = 0
Portanto, o limite da função \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} quando (x, y) tende a (0,0) é zero.
Substituindo essas expressões na função original, temos:
\frac{(r \cos(\theta))^3 (r \sin(\theta))}{(r \cos(\theta))^6 + (r \sin(\theta))^2}
Simplificando, obtemos:
\frac{r^4 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^6 \cos^6(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)}
Dividindo o numerador e o denominador por r^2 , temos:
\frac{r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^6(\theta) + \sin^2(\theta)}
Agora, podemos tomar o limite quando r tende a zero. Como o denominador tende a zero mais rapidamente do que o numerador, o limite é zero:
\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^6(\theta) + \sin^2(\theta)} = 0
Portanto, o limite da função \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} quando (x, y) tende a (0,0) é zero.
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