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Matemática
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lim _((x, y) arrow(0,0)) (x^3 y)/(x^6)+y^(2)

Pergunta

lim _((x, y) arrow(0,0)) (x^3 y)/(x^6)+y^(2)

lim _((x, y) arrow(0,0)) (x^3 y)/(x^6)+y^(2)

Solução

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KalineElite · Tutor por 8 anos

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Para encontrar o limite da função \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} quando (x, y) tende a (0,0) , podemos usar a técnica de polarização, substituindo x = r \cos(\theta) e y = r \sin(\theta) , onde r é a distância radial e \theta é o ângulo polar.

Substituindo essas expressões na função original, temos:

\frac{(r \cos(\theta))^3 (r \sin(\theta))}{(r \cos(\theta))^6 + (r \sin(\theta))^2}

Simplificando, obtemos:

\frac{r^4 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^6 \cos^6(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)}

Dividindo o numerador e o denominador por r^2 , temos:

\frac{r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^6(\theta) + \sin^2(\theta)}

Agora, podemos tomar o limite quando r tende a zero. Como o denominador tende a zero mais rapidamente do que o numerador, o limite é zero:

\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^6(\theta) + \sin^2(\theta)} = 0

Portanto, o limite da função \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} quando (x, y) tende a (0,0) é zero.
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