MATEMATICA 16) Considere quexey sao numeros inteiros positivos tais que 5x+3y=29 Assinale a alternativa que apresenta o valor máximo de y-x a) 5 x c) 6 d) 8

Para encontrar o valor máximo de \( y - x \), vamos analisar a equação \( 5x + 3y = 29 \) e expressar \( y \) em termos de \( x \):<br /><br />\[ 3y = 29 - 5x \]<br />\[ y = \frac{29 - 5x}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( 29 - 5x \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( x \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ 29 - 5x \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ 29 \equiv 2 \pmod{3} \]<br />\[ 5x \equiv 2 \pmod{3} \]<br />\[ x \equiv 2 \pmod{3} \]<br /><br />Portanto, \( x \) pode ser representado como \( 3k + 2 \), onde \( k \) é um inteiro. Substituindo na equação original:<br /><br />\[ y = \frac{29 - 5(3k + 2)}{3} \]<br />\[ y = \frac{29 - 15k - 10}{3} \]<br />\[ y = \frac{19 - 15k}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( 19 - 15k \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( k \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ 19 - 15k \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ 19 \equiv 1 \pmod{3} \]<br />\[ 15k \equiv 1 \pmod{3} \]<br />\[ k \equiv 1 \pmod{3} \]<br /><br />Portanto, \( k \) pode ser representado como \( 3m + 1 \), onde \( m \) é um inteiro. Substituindo na equação de \( x \):<br /><br />\[ x = 3k + 2 = 3(3m + 1) + 2 = 9m + 5 \]<br /><br />Agora, substituindo na equação de \( y \):<br /><br />\[ y = \frac{19 - 15k}{3} = \frac{19 - 15(3m + 1)}{3} = \frac{19 - 45m - 15}{3} = \frac{4 - 45m}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( 4 - 45m \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( m \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ 4 - 45m \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ 4 \equiv 1 \pmod{3} \]<br />\[ 45m \equiv 1 \pmod{3} \]<br />\[ m \equiv 1 \pmod{3} \]<br /><br />Portanto, \( m \) pode ser representado como \( 3n + 1 \), onde \( n \) é um inteiro. Substituindo na equação de \( x \):<br /><br />\[ x = 9m + 5 = 9(3n + 1) + 5 = 27n + 14 \]<br /><br />Agora, substituindo na equação de \( y \):<br /><br />\[ y = \frac{4 - 45m}{3} = \frac{4 - 45(3n + 1)}{3} = \frac{4 - 135n - 45}{3} = \frac{-131 - 135n}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( -131 - 135n \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( n \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ -131 - 135n \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ -131 \equiv 2 \pmod{3} \]<br />\[ 135n \equiv 2 \pmod{3} \]<br />\[ n \equiv 2 \pmod{3} \]<br /><br />Portanto, \( n \) pode ser representado como \( 3p + 2 \), onde \( p \) é um inteiro. Substituindo na equação de \( x \):<br /><br />\[ x = 27n + 14 = 27(3p + 2) + 14 = 81p + 64 \]<br /><br />Agora, substituindo na equação de \( y \):<br /><br />\[ y = \frac{-