2. T:R^2arrow R^2 tal que T(x,y)-(2y,x) 3. T: R^2arrow R^2 tal que T(x,y)=(x+y,2x+y) 4. T: R^3arrow R^3 tal que (x,y,z)Longrightarrow (x+y,x-y+2z,2x+y-z)

Vamos analisar cada uma das opções fornecidas:<br /><br />2. \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) tal que \( T(x, y) = (2y, x) \)<br /><br />Para verificar se essa é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar.<br /><br />- Adição:<br /> \[<br /> T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = T((x_1 + x_2), (y_1 + y_2)) = (2(y_1 + y_2), x_1 + x_2) = (2y_1 + 2y_2, x_1 + x_2) = (2y_1, x_1) + (2y_2, x_2) = T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2)<br /> \]<br /> Portanto, a adição é preservada.<br /><br />- Multiplicação por escalar:<br /> \[<br /> T(k(x, y)) = T(kx, ky) = (2(ky), kx) = (2ky, kx) = k(2y, x) = kT(x, y)<br /> \]<br /> Portanto, a multiplicação por escalar é preservada.<br /><br />Conclusão: A transformação \( T(x, y) = (2y, x) \) é uma transformação linear.<br /><br />3. \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) tal que \( T(x, y) = (x + y, 2x + y) \)<br /><br />Para verificar se essa é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar.<br /><br />- Adição:<br /> \[<br /> T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = T((x_1 + x_2), (y_1 + y_2)) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2, 2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)) = (x_1 + y_1 + x_2 + y_2, 2x_1 + 2x_2 + y_1 + y_2)<br /> \]<br /> \[<br /> = (x_1 + y_1, 2x_1 + y_1) + (x_2 + y_2, 2x_2 + y_2) = T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2)<br /> \]<br /> Portanto, a adição é preservada.<br /><br />- Multiplicação por escalar:<br /> \[<br /> T(k(x, y)) = T(kx, ky) = (kx + ky, 2(kx) + ky) = (k(x + y), 2kx + ky) = k(x + y, 2x + y) = kT(x, y)<br /> \]<br /> Portanto, a multiplicação por escalar é preservada.<br /><br />Conclusão: A transformação \( T(x, y) = (x + y, 2x + y) \) é uma transformação linear.<br /><br />4. \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tal que \( (x, y, z) \Longrightarrow (x + y, x - y + 2z, 2x + y - z) \)<br /><br />Para verificar se essa é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar.<br /><br />- Adição:<br /> \[<br /> T(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2, x_1 + x_2 - y_1 - y_2 + 2(z_1 + z_2), 2(x_1 + x_2) + y_1 + y_2 - (z_1 + z_2))<br /> \]<br /> \[<br /> = (x_1 + y_1, x_1 - y_1 + 2z_1, 2x_1 + y_1 - z_1) + (x_2 + y_2, x_2 - y_2 + 2z_2, 2x_2 + y_2 - z_2) = T(x_1, y_