Dadas as funções: f(x)=(sqrt (x^2+9)-3)/(x^2),g(x)=(x^2+x-6)/(x-2) e h(x)=(sqrt (4x+1)-3)/(x-2) Analise as afirmativas seguintes. lim _(xarrow 0)((sqrt (x^2+9)-3)/(x^2))=(1)/(6) II lim _(xarrow 2)((x^2+x-6)/(x-2))=5 III lim _(xarrow 2)((sqrt (4x+1)-3)/(x-2))=(2)/(3) É correto o que se afirma em:

Vamos analisar cada uma das afirmativas:<br /><br />I. $\lim _{x\rightarrow 0}(\frac {\sqrt {x^{2}+9}-3}{x^{2}})=\frac {1}{6}$<br /><br />Para calcular o limite dessa função quando x se aproxima de 0, podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor para a função $\sqrt{x^2 + 9}$ em torno de 0. Temos:<br /><br />$\sqrt{x^2 + 9} \approx \sqrt{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{1}{18}x^2$<br /><br />Substituindo esse desenvolvimento na função original, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}(\frac {\sqrt {x^{2}+9}-3}{x^{2}}) \approx \lim _{x\rightarrow 0}(\frac {3 + \frac{1}{18}x^2 - 3}{x^2}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\frac {\frac{1}{18}x^2}{x^2}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\frac {1}{18}) = \frac{1}{18}$<br /><br />Portanto, a afirmativa I está incorreta.<br /><br />II. $\lim _{x\rightarrow 2}(\frac {x^{2}+x-6}{x-2})=5$<br /><br />Podemos simplificar essa função fatorando o numerador:<br /><br />$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$<br /><br />Assim, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}(\frac {x^{2}+x-6}{x-2}) = \lim _{x\rightarrow 2}(\frac {(x - 2)(x + 3)}{x - 2})$<br /><br />Cancelando o fator comum $(x - 2)$, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}(x + 3) = 2 + 3 = 5$<br /><br />Portanto, a afirmativa II está correta.<br /><br />III. $\lim _{x\rightarrow 2}(\frac {\sqrt {4x+1}-3}{x-2})=\frac {2}{3}$<br /><br />Para calcular esse limite, podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor para a função $\sqrt{4x + 1}$ em torno de 2. Temos:<br /><br />$\sqrt{4x + 1} \approx \sqrt{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(4x - 8)}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{2}{9}(x - 2)$<br /><br />Substituindo esse desenvolvimento na função original, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}(\frac {\sqrt {4x+1}-3}{x-2}) \approx \lim _{x\rightarrow 2}(\frac {3 + \frac{2}{9}(x - 2) - 3}{x - 2}) = \lim _{x\rightarrow 2}(\frac {\frac{2}{9}(x - 2)}{x - 2}) = \lim _{x\rightarrow 2}(\frac {2}{9}) = \frac{2}{9}$<br /><br />Portanto, a afirmativa III está incorreta.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a afirmativa II.