2- Dado um vetor v=(a,b) prove que os vetores (b,-a) e (-b, a) são perpendiculare a v e têm o mesmo módulo que v.

Para provar que os vetores $(b,-a)$ e $(-b, a)$ são perpendiculares ao vetor $v=(a,b)$, podemos utilizar o produto interno. Dois vetores são perpendiculares se e somente se o seu produto interno é igual a zero.<br /><br />Vamos calcular o produto interno entre o vetor $v=(a,b)$ e o vetor $(b,-a)$:<br /><br />$v \cdot (b,-a) = a \cdot b + b \cdot (-a) = ab - ab = 0$<br /><br />Portanto, o produto interno entre o vetor $v=(a,b)$ e o vetor $(b,-a)$ é igual a zero, o que prova que eles são perpendiculares.<br /><br />Agora, vamos calcular o produto interno entre o vetor $v=(a,b)$ e o vetor $(-b, a)$:<br /><br />$v \cdot (-b, a) = a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0$<br /><br />Portanto, o produto interno entre o vetor $v=(a,b)$ e o vetor $(-b, a)$ também é igual a zero, o que prova que eles são perpendiculares.<br /><br />Para mostrar que os vetores $(b,-a)$ e $(-b, a)$ têm o mesmo módulo que o vetor $v=(a,b)$, podemos calcular a norma de cada vetor e comparar seus valores.<br /><br />A norma de um vetor $w=(x,y)$ é dada pela fórmula $\|w\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.<br /><br />Aplicando essa fórmula, temos:<br /><br />$\|(b,-a)\| = \sqrt{b^2 + (-a)^2} = \sqrt{b^2 + a^2}$<br /><br />$\|(-b, a)\| = \sqrt{(-b)^2 + a^2} = \sqrt{b^2 + a^2}$<br /><br />$\|v\| = \sqrt{a^2 + b^2}$<br /><br />Portanto, os vetores $(b,-a)$ e $(-b, a)$ têm o mesmo módulo que o vetor $v=(a,b)$, pois todos têm valor igual a $\sqrt{a^2 + b^2}$.<br /><br />Em resumo, os vetores $(b,-a)$ e $(-b, a)$ são perpendiculares ao vetor $v=(a,b)$ e têm o mesmo módulo que $v$.