8 Fatore o polinômio P(x)=2x^3+x^2-13x+6

Para fatorar o polinômio \( P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \), podemos usar o método de divisão sintética ou a busca por raízes racionais. Vamos usar a busca por raízes racionais para encontrar as possíveis raízes.<br /><br />Primeiro, vamos listar os possíveis divisores do termo constante (6) e do coeficiente líder (2). Os possíveis divisores de 6 são ±1, ±2, ±3, ±6, e os possíveis divisores de 2 são ±1, ±2.<br /><br />Vamos testar esses valores para ver se algum deles é uma raiz do polinômio.<br /><br />1. Testando \( x = 1 \):<br /> \[<br /> P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 13(1) + 6 = 2 + 1 - 13 + 6 = -4 \quad (\text{não é raiz})<br /> \]<br /><br />2. Testando \( x = -1 \):<br /> \[<br /> P(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 13(-1) + 6 = -2 + 1 + 13 + 6 = 18 \quad (\text{não é raiz})<br /> \]<br /><br />3. Testando \( x = 2 \):<br /> \[<br /> P(2) = 2(2)^3 + (2)^2 - 13(2) + 6 = 16 + 4 - 26 + 6 = 0 \quad (\text{é raiz})<br /> \]<br /><br />Como \( x = 2 \) é uma raiz, podemos usar a divisão sintética para fatorar o polinômio por \( x - 2 \).<br /><br />Dividindo \( P(x) \) por \( x - 2 \):<br /><br />\[<br />\begin{array}{r|rrrr}<br />2 & 2 & 1 & -13 & 6 \\<br /> & & 4 & 10 & -6 \\<br />\hline<br /> & 2 & 5 & -3 & 0 \\<br />\end{array}<br />\]<br /><br />O quociente é \( 2x^2 + 5x - 3 \). Agora, precisamos fatorar \( 2x^2 + 5x - 3 \).<br /><br />Para fatorar \( 2x^2 + 5x - 3 \), procuramos dois números que multiplicados resultem em \( 2 \times (-3) = -6 \) e somados resultem em 5. Esses números são 6 e -1.<br /><br />Reescrevemos o polinômio:<br />\[<br />2x^2 + 6x - x - 3<br />\]<br /><br />Agrupamos os termos:<br />\[<br />(2x^2 + 6x) - (x + 3)<br />\]<br /><br />Fatoramos cada grupo:<br />\[<br />2x(x + 3) - 1(x + 3)<br />\]<br /><br />Fatoramos o fator comum:<br />\[<br />(2x - 1)(x + 3)<br />\]<br /><br />Portanto, o polinômio fatorado é:<br />\[<br />P(x) = (x - 2)(2x - 1)(x + 3)<br />\]