43 Famema-SP 2022 A reta de equação x+2y+1=0 determina na circunferência (x-4)^2+y^2=21uma corda de comprimen to igual a a) 8. d) 6sqrt (2) b) 7. e) 4sqrt (5) c) 6sqrt (3)

Para determinar a corda de comprimento da reta que passa pela circunferência, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos em um plano cartesiano. A fórmula é dada por:<br /><br />\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]<br /><br />Neste caso, temos a reta dada pela equação \(x + 2y + 1 = 0\). Podemos reescrever essa equação na forma \(y = mx + c\), onde \(m\) é o coeficiente angular e \(c\) é o coeficiente linear. Assim, temos:<br /><br />\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]<br /><br />Agora, precisamos encontrar dois pontos na circunferência que estão alinhados com a reta. Podemos fazer isso substituindo os valores de \(x\) e \(y\) da equação da reta na equação da circunferência e encontrando os pontos de interseção.<br /><br />Substituindo \(x = -\frac{1}{2}\) na equação da circunferência, temos:<br /><br />\[ \left(-\frac{1}{2} - 4\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 21 \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ \left(-\frac{9}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 21 \]<br /><br />\[ \frac{81}{4} + \frac{1}{4} = 21 \]<br /><br />\[ \frac{82}{4} = 21 \]<br /><br />\[ 20.5 = 21 \]<br /><br />Isso não é possível, então precisamos tentar outro valor de \(x\). Vamos substituir \(x = 4\) na equação da circunferência:<br /><br />\[ (4 - 4)^2 + y^2 = 21 \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ 0 + y^2 = 21 \]<br /><br />\[ y^2 = 21 \]<br /><br />\[ y = \pm \sqrt{21} \]<br /><br />Agora, temos dois pontos na circunferência: \((4, \sqrt{21})\) e \((4, -\sqrt{21})\). Podemos calcular a distância entre esses dois pontos usando a fórmula da distância:<br /><br />\[ d = \sqrt{(4 - 4)^2 + (\sqrt{21} - (-\sqrt{21}))^2} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ d = \sqrt{0 + (2\sqrt{21})^2} \]<br /><br />\[ d = \sqrt{0 + 4 \cdot 21} \]<br /><br />\[ d = \sqrt{84} \]<br /><br />\[ d = 2\sqrt{21} \]<br /><br />Portanto, a corda de comprimento da reta que passa pela circunferência é igual a \(2\sqrt{21}\). A resposta correta é a opção d) \(6\sqrt{2}\).