Analisando a função f(x)=x^3-3x^2+1 podemos dizer que a função é crescente e decrescente nos intervalos:

Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso ocorre quando a derivada da função é igual a zero.<br /><br />Derivando a função, temos:<br /><br />$f'(x) = 3x^2 - 6x$<br /><br />Igualando a zero, temos:<br /><br />$3x^2 - 6x = 0$<br /><br />Fatorando a expressão, temos:<br /><br />$3x(x - 2) = 0$<br /><br />Portanto, os pontos críticos são x = 0 e x = 2.<br /><br />Agora, podemos analisar os intervalos entre esses pontos críticos para determinar onde a função é crescente ou decrescente.<br /><br />Para isso, podemos escolher um ponto em cada intervalo e substituí-lo na derivada da função para determinar o sinal da derivada nesse intervalo.<br /><br />Para o intervalo (-∞, 0), escolhendo x = -1, temos:<br /><br />$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$<br /><br />Portanto, a derivada é positiva nesse intervalo, o que implica que a função é crescente.<br /><br />Para o intervalo (0, 2), escolhendo x = 1, temos:<br /><br />$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$<br /><br />Portanto, a derivada é negativa nesse intervalo, o que implica que a função é decrescente.<br /><br />Para o intervalo (2, +∞), escolhendo x = 3, temos:<br /><br />$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$<br /><br />Portanto, a derivada é positiva nesse intervalo, o que implica que a função é crescente.<br /><br />Portanto, a função é crescente nos intervalos (-∞, 0) e (2, +∞), e decrescente no intervalo (0, 2).