26 Sejam xeyreais positivos e diferentes de 1 . Se log_(y)x=2 calcule: a) log_(x)y b) log_(x^3)y^2 c) log_((1)/(x))(1)/(y) d) log_(y^2)x

Vamos corrigir e resolver cada item da questão:<br /><br />Dado que \( \log_y x = 2 \), podemos usar essa informação para resolver as expressões fornecidas.<br /><br />a) \( \log_x y \)<br /><br />Usamos a propriedade da mudança de base para logaritmos:<br />\[ \log_x y = \frac{\log_y y}{\log_x x} \]<br /><br />Como \( \log_y y = 1 \) e \( \log_x x = 1 \):<br />\[ \log_x y = \frac{1}{1} = 1 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />a) \( \log_x y = 1 \)<br /><br />b) \( \log_{x^3} y^2 \)<br /><br />Usamos a propriedade do logaritmo de potência:<br />\[ \log_{x^3} y^2 = \frac{\log_y y^2}{\log_{x^3} x^3} \]<br /><br />Como \( \log_y y^2 = 2 \) e \( \log_{x^3} x^3 = 3 \):<br />\[ \log_{x^3} y^2 = \frac{2}{3} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />b) \( \log_{x^3} y^2 = \frac{2}{3} \)<br /><br />c) \( \log_{\frac{1}{x}} \frac{1}{y} \)<br /><br />Usamos a propriedade do logaritmo de fração:<br />\[ \log_{\frac{1}{x}} \frac{1}{y} = \log_{\frac{1}{x}} \left( \frac{1}{y} \right) = \log_{\frac{1}{x}} \left( \frac{1}{y} \right) \]<br /><br />Podemos reescrever \( \frac{1}{x} \) como \( x^{-1} \) e \( \frac{1}{y} \) como \( y^{-1} \):<br />\[ \log_{x^{-1}} y^{-1} \]<br /><br />Usamos a propriedade do logaritmo de potência:<br />\[ \log_{x^{-1}} y^{-1} = \frac{\log_y y^{-1}}{\log_{x^{-1}} x^{-1}} \]<br /><br />Como \( \log_y y^{-1} = -1 \) e \( \log_{x^{-1}} x^{-1} = -1 \):<br />\[ \log_{\frac{1}{x}} \frac{1}{y} = \frac{-1}{-1} = 1 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />c) \( \log_{\frac{1}{x}} \frac{1}{y} = 1 \)<br /><br />d) \( \log_{y^2} x \)<br /><br />Usamos a propriedade da mudança de base para logaritmos:<br />\[ \log_{y^2} x = \frac{\log_y x}{\log_{y^2} y^2} \]<br /><br />Como \( \log_y x = 2 \) e \( \log_{y^2} y^2 = 2 \):<br />\[ \log_{y^2} x = \frac{2}{2} = 1 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />d) \( \log_{y^2} x = 1 \)<br /><br />Resumindo, as respostas corretas são:<br />a) \( \log_x y = 1 \)<br />b) \( \log_{x^3} y^2 = \frac{2}{3} \)<br />c) \( \log_{\frac{1}{x}} \frac{1}{y} = 1 \)<br />d) \( \log_{y^2} x = 1 \)