02- Coloca-se um corpo à temperatura de 0^circ C em um ambiente mantido a temperatura constante de 40^circ C. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é de 20^circ C. Determine o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 15^circ C. Determine também a temperatura do corpo após 12 minutos.

Para resolver esse problema, podemos usar a Lei da Radiação de Newton, que descreve como um corpo se aquece ou esfria em um ambiente de temperatura constante. A fórmula para a lei da radiação de Newton é:<br /><br />\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}) \]<br /><br />onde:<br />- \( \frac{dT}{dt} \) é a taxa de variação da temperatura do corpo,<br />- \( k \) é uma constante de proporcionalidade,<br />- \( T \) é a temperatura do corpo,<br />- \( T_{\text{amb}} \) é a temperatura do ambiente.<br /><br />Primeiro, precisamos determinar a constante \( k \). Sabemos que a temperatura do corpo atingiu \( 20^{\circ}C \) após 10 minutos. Usando a fórmula da lei da radiação de Newton, temos:<br /><br />\[ \frac{20 - 0}{10} = -k(20 - 40) \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />\[ k = \frac{1}{30} \]<br /><br />Agora, podemos usar essa constante para determinar o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir \( 15^{\circ}C \). Usando a fórmula da lei da radiação de Newton, temos:<br /><br />\[ \frac{dT}{dt} = -\frac{1}{30}(T - 40) \]<br /><br />Resolvendo essa equação diferencial, encontramos:<br /><br />\[ T(t) = 40 + (20 - 40)e^{-\frac{t}{30}} \]<br /><br />Queremos encontrar o tempo necessário para a temperatura atingir \( 15^{\circ}C \), então substituímos \( T = 15 \) na equação acima e resolvemos para \( t \):<br /><br />\[ 15 = 40 + (20 - 40)e^{-\frac{t}{30}} \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />\[ t \approx 15 \text{ minutos} \]<br /><br />Portanto, o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir \( 15^{\circ}C \) é de aproximadamente 15 minutos.<br /><br />Para determinar a temperatura do corpo após 12 minutos, substituímos \( t = 12 \) na equação acima:<br /><br />\[ T(12) = 40 + (20 - 40)e^{-\frac{12}{30}} \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />\[ T(12) \approx 18.88^{\circ}C \]<br /><br />Portanto, a temperatura do corpo após 12 minutos é aproximadamente \( 18.88^{\circ}C \).