Questão 1 Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(2,-1,3) e é paralela à reta determinada pelos pontos P(3,1,4) e Q(5,3,4)

Para encontrar as equações paramétricas da reta, podemos usar o ponto $A(2, -1, 3)$ como ponto de referência e o vetor diretor $\vec{v}$ que é paralelo à reta determinada pelos pontos $P(3, 1, 4)$ e $Q(5, 3, 4)$.

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor $\vec{v}$ usando os pontos $P$ e $Q$:

$$\vec{v} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 3 - 1 \\ 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta usando o ponto $A$ e o vetor diretor $\vec{v}$:

$$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 \end{cases}$$

Para encontrar a equação simétrica da reta, podemos usar a fórmula:

$$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{0}$$

Portanto, as equações paramétricas da reta são:

$$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 \end{cases}$$

E a equação simétrica da reta é:

$$\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2}$$