34.Resolva as seguintes inequações trigonomé- tricas, no intervalo 0leqslant xlt 2pi a) 2senxgeqslant -1 c) vert senxvert lt (1)/(2) b) cosxgeqslant (1)/(2) d) vert cosxvert lt (sqrt (2))/(2)

Vamos resolver cada uma das inequações trigonométricas no intervalo \(0 \leqslant x < 2\pi\):<br /><br />a) \(2\sin(x) \geqslant -1\)<br /><br />Dividimos ambos os lados por 2:<br />\[<br />\sin(x) \geqslant -\frac{1}{2}<br />\]<br /><br />A função seno é maior ou igual a \(-\frac{1}{2}\) nos intervalos:<br />\[<br />\left[ \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right] \cup \left[ \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} \right]<br />\]<br /><br />b) \(\cos(x) \geqslant \frac{1}{2}\)<br /><br />A função cosseno é maior ou igual a \(\frac{1}{2}\) nos intervalos:<br />\[<br />\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right]<br />\]<br /><br />c) \(\vert \sin(x) \vert < \frac{1}{2}\)<br /><br />Isso significa que \(\sin(x)\) está dentro da faixa \(-\frac{1}{2} < \sin(x) < \frac{1}{2}\). Isso ocorre nos intervalos:<br />\[<br />\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)<br />\]<br /><br />d) \(\vert \cos(x) \vert < \frac{\sqrt{2}}{2}\)<br /><br />Isso significa que \(\cos(x)\) está dentro da faixa \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}\). Isso ocorre nos intervalos:<br />\[<br />\left( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções para as inequações são:<br /><br />a) \(\left[ \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right] \cup \left[ \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} \right]\)<br /><br />b) \(\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right]\)<br /><br />c) \(\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)\)<br /><br />d) \(\left( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)\)