Raduzindo Equacbes de Segunda Ordem para Primelra Ordem A reducto de ordem e uma tecnica poderosa en equaples differencias, particularmente util quando uma solucio de uma equaclo de segunda ordem segunda solucio linearmente independente. Dado que sin(x)=e^x uma solucio para equação diferencial y''-2y'+y=0. encontre uma segunda soluçlo linearmente independente usando o metodo de reduclo de ordem. y(x)=xe^2 B n(x)=e^2x C n(x)=x^2e^x D y(z)=ze^-1 y(x)=e^-x

Para resolver a equação diferencial $y'' - 2y' + y = 0$ usando o método de redução de ordem, primeiro precisamos encontrar uma solução particular para a equação homogênea associada $y'' - 2y' + y = 0$. Podemos fazer isso procurando uma solução da forma $y(x) = e^{mx}$.<br /><br />Substituindo $y(x) = e^{mx}$ na equação homogênea, temos:<br /><br />$m^2 e^{mx} - 2m e^{mx} + e^{mx} = 0$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$m^2 - 2m + 1 = 0$<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $m = 1$. Portanto, uma solução geral para a equação homogênea é $y_h(x) = e^x$.<br /><br />Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea $sin(x) = e^x$. Podemos assumir que a solução geral da equação não homogênea seja uma soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.<br /><br />Assim, assumimos $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^x + y_p(x)$.<br /><br />Substituindo na equação diferencial original, temos:<br /><br />$(e^x + y_p(x))'' - 2(e^x + y_p(x))' + (e^x + y_p(x)) = sin(x) + e^x$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$(y_p''(x) + y_p(x)) - 2(y_p'(x) + y_p(x)) + y_p(x) = sin(x)$<br /><br />Agora, precisamos encontrar uma solução particular para essa equação. Podemos assumir que $y_p(x)$ seja da forma $y_p(x) = A cos(x) + B sin(x)$, onde A e B são constantes a serem determinadas.<br /><br />Substituindo essa forma em nossa equação, temos:<br /><br />$(A cos(x) + B sin(x))'' - 2(A cos(x) + B sin(x))' + (A cos(x) + B sin(x)) = sin(x)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$-A cos(x) - B sin(x) - 2A sin(x) + 2B cos(x) + A cos(x) + B sin(x) = sin(x)$<br /><br />Simplificando ainda mais, temos:<br /><br />$2B cos(x) - 2A sin(x) = sin(x)$<br /><br />Comparando coeficientes, temos:<br /><br />$2B = 1$ e $-2A = 0$<br /><br />Portanto, $B = \frac{1}{2}$ e $A = 0$. Assim, uma solução particular para a equação é $y_p(x) = \frac{1}{2} sin(x)$.<br /><br />Portanto, uma solução geral para a equação diferencial é $y(x) = e^x + \frac{1}{2} sin(x)$.<br /><br />Comparando com as opções fornecidas, vemos que a resposta correta é a letra B: $n(x) = e^{2x}$.