5-Dados os pontos: A(7,-3,5),B(-6,2,3) e C(2,1,-4) determinar o que segue: a) Os vetores: AB,AC,BAeCB b) Os módulos de AC e BC. c) vetor: V=AB+CA d) vetor: U=BA-CA e) vetor: W=3AB-2BC+5CA

a) Para determinar os vetores, subtraímos as coordenadas correspondentes de cada ponto:<br /><br />$AB = B - A = (-6, 2, 3) - (7, -3, 5) = (-13, 5, -2)$<br /><br />$AC = C - A = (2, 1, -4) - (7, -3, 5) = (-5, 4, -9)$<br /><br />$BA = A - B = (7, -3, 5) - (-6, 2, 3) = (13, -5, 2)$<br /><br />$CB = C - B = (2, 1, -4) - (-6, 2, 3) = (8, -1, -7)$<br /><br />b) Para determinar os módulos dos vetores AC e BC, usamos a fórmula da distância euclidiana:<br /><br />$|AC| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 16 + 81} = \sqrt{122}$<br /><br />$|BC| = \sqrt{(8)^2 + (-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{64 + 1 + 49} = \sqrt{114}$<br /><br />c) Para determinar o vetor V, somamos os vetores AB e CA:<br /><br />$V = AB + CA = (-13, 5, -2) + (-5, 4, -9) = (-18, 9, -11)$<br /><br />d) Para determinar o vetor U, subtraímos os vetores BA e CA:<br /><br />$U = BA - CA = (13, -5, 2) - (-5, 4, -9) = (18, -9, 11)$<br /><br />e) Para determinar o vetor W, multiplicamos os vetores AB, BC e CA pelos escalares 3, -2 e 5, respectivamente, e somamos os resultados:<br /><br />$W = 3AB - 2BC + 5CA = 3(-13, 5, -2) - 2(8, -1, -7) + 5(-5, 4, -9) = (-39, 15, -6) - (16, -2, 14) + (-25, 20, -45) = (-80, 33, -65)$