f(x,y)= ) (x^5y^2(x+y^4))/([x^2)+y^(2]^3)&se&(x,y)neq langle 0,0) 0&se&(x,y)=(0,0) Determine a) Se a funcão é continua em (0,0)

Para determinar se a função é contínua em $(0,0)$, precisamos verificar se o limite da função quando $(x,y)$ se aproxima de $(0,0)$ é igual ao valor da função nesse ponto.<br /><br />Vamos calcular o limite da função quando $(x,y)$ se aproxima de $(0,0)$:<br /><br />$\lim_{{(x,y) \to (0,0)}} f(x,y) = \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{x^{5}y^{2}(x+y^{4})}{[x^{2}+y^{2}]^{3}}$<br /><br />Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por $x^{2}y^{2}$:<br /><br />$\lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{x^{5}y^{2}(x+y^{4})}{[x^{2}+y^{2}]^{3}} = \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{x^{3}(1+y^{2})(x+y^{4})}{[x^{2}+y^{2}]^{3}}$<br /><br />Agora, podemos observar que quando $(x,y)$ se aproxima de $(0,0)$, o termo $x^{3}$ tende a zero. Portanto, o limite da função é igual a zero:<br /><br />$\lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{x^{3}(1+y^{2})(x+y^{4})}{[x^{2}+y^{2}]^{3}} = 0$<br /><br />Como o limite da função é igual ao valor da função em $(0,0)$, que é zero, podemos concluir que a função é contínua em $(0,0)$. Portanto, a resposta correta é que a função é contínua em $(0,0)$.