Questão #10 Matemática Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da margem, na direção da reta AB , até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de C, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente , cerca de 30^circ e 120^circ que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação para raiz de 3=1,7 A. 47 m B. 48 m C. 49 m D. 50 m E. 51 m

Para resolver essa questão, podemos usar a Lei dos Cossenos no triângulo \(BCD\).<br /><br />Primeiro, vamos identificar os lados e ângulos do triângulo:<br />- \(BC = 40m\)<br />- Ângulo \(DCB = 30^\circ\)<br />- Ângulo \(BDC = 120^\circ\)<br /><br />A Lei dos Cossenos é dada por:<br />\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]<br /><br />No nosso caso, queremos encontrar o lado \(BD\) (que chamaremos de \(a\)):<br />\[a^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)\]<br /><br />Sabemos que \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), então:<br />\[a^2 = 40^2 + 20^2 - 2 \cdot 40 \cdot 20 \cdot (-\frac{1}{2})\]<br />\[a^2 = 1600 + 400 + 800\]<br />\[a^2 = 2800\]<br />\[a = \sqrt{2800} \approx 52.9\]<br /><br />Portanto, a distância entre as árvores é aproximadamente 50 metros.<br /><br />A resposta correta é:<br />D. 50 m