limite de uma função quando a variável tende a um valor é investigado utilizando-se métodos diversificados, de acordo com a caracteristica da função. Sendo assim, investigue: lim _(xarrow 1)(x^2-1)/(x^3)-1 a. 0 b. 4 C. 5/3 d. 2/3 e. 3/2

Para resolver o limite da função quando \( x \) tende a 1, podemos usar métodos de simplificação e fatoração. Vamos analisar a expressão dada:<br /><br />\[<br />\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}<br />\]<br /><br />Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:<br /><br />\[<br />x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)<br />\]<br /><br />\[<br />x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)<br />\]<br /><br />Substituindo essas fatorações na expressão original, temos:<br /><br />\[<br />\lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}<br />\]<br /><br />Podemos cancelar o fator comum \((x - 1)\):<br /><br />\[<br />\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + 1}{x^2 + x + 1}<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \( x = 1 \):<br /><br />\[<br />\frac{1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{2}{3}<br />\]<br /><br />Portanto, o limite da função é:<br /><br />\[<br />\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1} = \frac{2}{3}<br />\]<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />d. \( \frac{2}{3} \)