2. Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área. a) y=x^2-6x,y=0,x=0ex=4 e) y=ln(x),x=1,x=e e o eixo x; b) y=x^2ey=-x^2+4x f) y=e^x,y=e^-x,x=0ex=2ln(2) c) y=cos(x),y=sen(x),x=0ex=(pi )/(2) g) y=x-1ey^2=2x+6 d) x=1-y^2ex=5-5y^2 h) y=cos(x),x=(pi )/(2),x=(3pi )/(2) e o eixo x. 3. Determine o número real b tal que a reta y=b divida a região delimitada pelas curvas y=x^2 y=4em duas regiōes com áreas iguais. 4. Mostre que int _(1)^+infty (dx)/(sqrt (x)) é divergente. 5. Investigue as seguintes integrais impróprias. int _(-infty )^0e^xdx int _(-infty )^+infty (dx)/(9+x^2) int _(1)^+infty ln(x)dx d) int _(e)^+infty (dx)/(x(ln(x))^2)

2. Para calcular a área da região delimitada pelas curvas, podemos usar o método de integração. Vamos calcular a área para cada opção:<br /><br />a) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=x^{2}-6x$, $y=0$ e $x=0$ e $x=4$, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=x^{2}-6x$ de 0 a 4:<br /><br />$\int_{0}^{4} (x^{2}-6x) dx$<br /><br />b) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=x^{2}$ e $y=-x^{2}+4x$, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=x^{2}-(-x^{2}+4x)$ de 0 a 2:<br /><br />$\int_{0}^{2} (x^{2}-(-x^{2}+4x)) dx$<br /><br />c) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=\cos(x)$, $y=\sin(x)$, $x=0$ e $x=\frac{\pi}{2}$, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=\cos(x)-\sin(x)$ de 0 a $\frac{\pi}{2}$:<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(x)-\sin(x)) dx$<br /><br />d) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $x=1-y^{2}$ e $x=5-5y^{2}$, podemos calcular a integral definida da função $f(y)=5-5y^{2}- (1-y^{2})$ de -2 a 2:<br /><br />$\int_{-2}^{2} (5-5y^{2}- (1-y^{2})) dy$<br /><br />e) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=\ln(x)$, $x=1$ e $x=e$ e o eixo x, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=\ln(x)-\ln(1)$ de 1 a e:<br /><br />$\int_{1}^{e} (\ln(x)-\ln(1)) dx$<br /><br />f) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=e^{x}$, $y=e^{-x}$, $x=0$ e $x=2\ln(2)$, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=e^{x}-e^{-x}$ de 0 a $2\ln(2)$:<br /><br />$\int_{0}^{2\ln(2)} (e^{x}-e^{-x}) dx$<br /><br />g) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=x-1$ e $y^{2}=2x+6$, podemos calcular a integral definida da função $f(y)=\frac{y^{2}-2x-6}{2}-\frac{y-1}{2}$ de -3 a 3:<br /><br />$\int_{-3}^{3} (\frac{y^{2}-2x-6}{2}-\frac{y-1}{2}) dy$<br /><br />h) Para calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=\cos(x)$, $x=\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{3\pi}{2}$ e o eixo x, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=\cos(x)-\cos(\frac{\pi}{2})$ de 0 a $\pi$:<br /><br />$\int_{0}^{\pi} (\cos(x)-\cos(\frac{\pi}{2})) dx$<br /><br />3. Para determinar o número real b tal que a reta $y=b$ divida a região delimitada pelas curvas $y=x^{2}$ e $y=4$ em duas regiões com áreas iguais, podemos calcular a integral definida da função $f(x)=x^{2}-4$ de 0 a $\sqrt{4}$ e dividir o resultado por 2:<br /><br />$\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{4}} (x^{2}-4) dx$<br /><br />4. Para mostrar que a integral $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}$ é divergente, podemos calcular a integral e verificar se o resultado é finito ou infinito. Neste caso, a integral é infinita, o que indica que a série diverge.<br /><br />5. Para investigar as seguintes integrais impróprias, podemos calcular a integral definida da função correspondente e verificar se o resultado é finito ou