038) (MTunderline ( )094) Considerando ain [1,3) tome um retângulo de medidas 3-ae2a-1 square Qual é a maior drea possivel para esse retângulo? A) 3 B) (7)/(4) C) (49)/(16) D) 1 E (25)/(8) 039) (MT.026) Um jogador de basquete tem probabilidade de 90% de acertar um arremesso de lance ivre. Num treinamento ele realiza 10 arremessos de lance livre. Qual é a probabilidade desse jogador errar exatamente um desses arremessos? A) 1 B) (1)/(10) C) (9)/(10) D) ((9)/(10))^9cdot (1)/(10) E) 10cdot ((9)/(10))^9cdot (1)/(10)

Para resolver as duas questões, vamos analisar cada uma separadamente:<br /><br />038) Queremos encontrar a maior área possível para um retângulo com medidas \(3-a\) e \(2a-1\), onde \(a \in [1, 3)\).<br /><br />A área \(A\) do retângulo é dada por:<br />\[ A = (3-a)(2a-1) \]<br /><br />Expandindo a expressão:<br />\[ A = (3-a)(2a-1) = 6a - 3 - 2a^2 + a = -2a^2 + 7a - 3 \]<br /><br />Para encontrar o valor de \(a\) que maximiza a área, podemos derivar a função e igualar a zero:<br />\[ A'(a) = -4a + 7 \]<br />\[ -4a + 7 = 0 \]<br />\[ 4a = 7 \]<br />\[ a = \frac{7}{4} \]<br /><br />Verificamos se \(\frac{7}{4}\) está no intervalo \([1, 3)\). Como está, calculamos a área máxima substituindo \(a = \frac{7}{4}\) na expressão da área:<br />\[ A = -2\left(\frac{7}{4}\right)^2 + 7\left(\frac{7}{4}\right) - 3 \]<br />\[ A = -2\left(\frac{49}{16}\right) + \frac{49}{4} - 3 \]<br />\[ A = -\frac{98}{16} + \frac{196}{16} - \frac{48}{16} \]<br />\[ A = \frac{196 - 98 - 48}{16} \]<br />\[ A = \frac{50}{16} \]<br />\[ A = \frac{25}{8} \]<br /><br />Portanto, a maior área possível é \(\frac{25}{8}\).<br /><br />Alternativa correta: E) \(\frac{25}{8}\)<br /><br />039) Um jogador de basquete tem probabilidade de \(90\%\) de acertar um arremesso. Queremos saber a probabilidade de ele errar exatamente um dos 10 arremessos.<br /><br />A probabilidade de errar um arremesso é \(10\%\) ou \(0,1\). Podemos usar a distribuição binomial para calcular essa probabilidade. A fórmula é:<br />\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]<br /><br />Onde:<br />- \(n = 10\) (número de tentativas)<br />- \(k = 1\) (número de erros desejados)<br />- \(p = 0,1\) (probabilidade de erro)<br /><br />Substituindo os valores:<br />\[ P(X = 1) = \binom{10}{1} (0,1)^1 (0,9)^9 \]<br />\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0,1 \cdot (0,9)^9 \]<br /><br />Calculando \((0,9)^9\):<br />\[ (0,9)^9 \approx 0,387420489 \]<br /><br />Portanto:<br />\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0,1 \cdot 0,387420489 \]<br />\[ P(X = 1) \approx 0,387420489 \]<br /><br />Alternativa correta: E) \(10 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^9 \cdot \frac{1}{10}\)