Resolva as equações: ((n+7)!)/((n+6)!)=15 c) ((n-2)!)/((n-4)!)=6 b) ((n-6)!)/((n-5)!)=(1)/(32) d ((n+1)!+n!)/((n+2)!)=(1)/(9)

Vamos resolver cada uma das equações passo a passo:<br /><br />### a) \(\frac{(n+7)!}{(n+6)!} = 15\)<br /><br />Podemos simplificar a expressão usando a propriedade dos fatoriais:<br /><br />\[<br />\frac{(n+7)!}{(n+6)!} = \frac{(n+7) \cdot (n+6)!}{(n+6)!} = n + 7<br />\]<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />\[<br />n + 7 = 15<br />\]<br /><br />Resolvendo para \(n\):<br /><br />\[<br />n = 15 - 7 = 8<br />\]<br /><br />### b) \(\frac{(n-6)!}{(n-5)!} = \frac{1}{32}\)<br /><br />Novamente, usando a propriedade dos fatoriais:<br /><br />\[<br />\frac{(n-6)!}{(n-5)!} = \frac{(n-6) \cdot (n-5)!}{(n-5)!} = n - 6<br />\]<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />\[<br />n - 6 = \frac{1}{32}<br />\]<br /><br />Resolvendo para \(n\):<br /><br />\[<br />n = \frac{1}{32} + 6 = \frac{1 + 192}{32} = \frac{193}{32}<br />\]<br /><br />### c) \(\frac{(n-2)!}{(n-4)!} = 6\)<br /><br />Usando a propriedade dos fatoriais:<br /><br />\[<br />\frac{(n-2)!}{(n-4)!} = \frac{(n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{(n-4)!} = (n-2)(n-3)<br />\]<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />\[<br />(n-2)(n-3) = 6<br />\]<br /><br />Resolvendo para \(n\):<br /><br />\[<br />n^2 - 5n + 6 = 0<br />\]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[<br />n = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, temos duas soluções:<br /><br />\[<br />n = 3 \quad \text{ou} \quad n = 2<br />\]<br /><br />### d) \(\frac{(n+1)! + n!}{(n+2)!} = \frac{1}{9}\)<br /><br />Primeiro, simplificamos o numerador:<br /><br />\[<br />(n+1)! + n! = (n+1) \cdot n! + n! = (n+2) \cdot n!<br />\]<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />\[<br />\frac{(n+2) \cdot n!}{(n+2) \cdot (n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}<br />\]<br /><br />Portanto, a equação se torna:<br /><br />\[<br />\frac{1}{n+1} = \frac{1}{9}<br />\]<br /><br />Resolvendo para \(n\):<br /><br />\[<br />n + 1 = 9 \implies n = 8<br />\]<br /><br />### Resumo das soluções:<br /><br />a) \(n = 8\)<br /><br />b) \(n = \frac{193}{32}\)<br /><br />c) \(n = 3 \quad \text{ou} \quad n = 2\)<br /><br />d) \(n = 8\)