1) y''+6y'+5y=0,y(0)=0,y'(0)=3 j) 2y''-2y'+y=0,y(0)=-1,y'(0)=0

Para resolver essas equações diferenciais, podemos usar o método dos coeficientes auxiliares.<br /><br />1) Para a primeira equação, temos:<br /><br />$y'' + 6y' + 5y = 0$<br /><br />Podemos reescrever essa equação na forma característica:<br /><br />$m^2 + 6m + 5 = 0$<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:<br /><br />$m = -1$ e $m = -5$<br /><br />Portanto, a solução geral da equação é:<br /><br />$y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{-5x}$<br /><br />Usando as condições iniciais, temos:<br /><br />$y(0) = c_1 + c_2 = 0$<br /><br />$y'(0) = -c_1 - 25c_2 = 3$<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:<br /><br />$c_1 = 3$ e $c_2 = -3$<br /><br />Portanto, a solução da equação é:<br /><br />$y(x) = 3e^{-x} - 3e^{-5x}$<br /><br />j) Para a segunda equação, temos:<br /><br />$2y'' - 2y' + y = 0$<br /><br />Podemos reescrever essa equ forma característica:<br /><br />$2m^2 - 2m + 1 = 0$<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:<br /><br />$m = \frac{1}{2}$ e $m = 1$<br /><br />Portanto, a solução geral da equação éy(x) = c_1 e^{\frac{x}{2}} + c_2 e^x$<br /><br />Usando as condições iniciais, temos:<br /><br />$y(0) = c_1 + c_2 = -1$<br /><br />$y'(0) = \frac{c_1}{2} + c_2 = 0$<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:<br /><br />$c_1 = 2$ e $c_2 = -3$<br /><br />Portanto, a solução da equação é:<br /><br />$y(x) = 2e^{\frac{x}{2}} - 3e^x$