20) Sejam overrightarrow (u),overrightarrow (v),overrightarrow (w) três vetores tais que overrightarrow (u)bot (overrightarrow (v)-overrightarrow (w))eoverrightarrow (v)bot (overrightarrow (w)-overrightarrow (u)) Provar que overrightarrow (w)bot (overrightarrow (u)-overrightarrow (v))

Para provar que $\overrightarrow{w} \bot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$, vamos usar as propriedades dos vetores ortogonais.<br /><br />Dado que $\overrightarrow{u} \bot (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w})$, podemos escrever:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) = 0$<br /><br />Dado também que $\overrightarrow{v} \bot (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{u})$, podemos escrever:<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{u}) = 0$<br /><br />Agora, vamos calcular o produto escalar de $\overrightarrow{w}$ com $(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$:<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$<br /><br />Podemos reescrever isso como:<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v}$<br /><br />Usando as propriedades dos produtos escalares, podemos escrever:<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$<br /><br />Agora, vamos usar as equações que encontramos anteriormente:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) = 0$<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{u}) = 0$<br /><br />Podemos reescrever a primeira equação como:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 0$<br /><br />E a segunda equação como:<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 0$<br /><br />Agora, vamos somar essas duas equações:<br /><br />$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}) + (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}) = 0$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 0$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 0$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{ = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v}$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v}$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v}$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} - \