Exercice 1: Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu'elles sont évidentes Soit (u_(n))_(ngeqslant 0) la suite de nombres réels définie par u_(0)in ]0,1] et par la relation de récurrence u_(n+1)=(u_(n))/(2)+((u_(n))^2)/(4) 1. Montrer que : forall nin N,u_(n)gt 0. 2. Montrer que : forall nin N,u_(n)leqslant 1 3. Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente. 4. Déterminer la limite de la suite (u_(n))_(ngeqslant 0) Exercice 2: Soit (u_(n))_(nin N) définie par u_(0)=1 et la relation de récurrence u_(n+1)=(u_(n)+8)/(2u_(n)+1) Et soit (v_(n))_(nin N) définie par v_(n)=(u_(n)-2)/(u_(n)+2) 1. Montrer que (v_(n))_(nin N) est une suite géométrique de raison -(3)/(5) 2. Exprimer v_(n) en fonction de n. 3. Exprimer u_(n) en fonction de n. 4. Montrer que (u_(n))_(nin N) converge et déterminer sa limite. Exercice 3: Soit (u_(n))_(nin N) la suite définie par la donnée de u_(0) et de u_(1) et la relation de récurrence 2u_(n+2)-u_(n+1)-u_(n)=0 On pose pour tout nin N v_(n)=u_(n+1)-u_(n) et w_(n)=2u_(n+1)+u_(n) 1. Montrer que (v_(n))_(nin N) est une suite géométrique de raison -(1)/(2) On exprimera v_(n) en fonction de n, u_(0) u_(1) 2. Montrer que (w_(n))_(nin N) est une suite constante On exprimera W_(n) en fonction u_(0) et u_(1) 3. En calculant -2v_(n)+w_(n) de deux façons differentes exprimer u_(n) en fonction de n, u_(0) et u_(1) 4. On pose pour tout nin N S_(n)=sum _(k=0)^nu_(k) Calculer S_(n) en fonction de n,u_(0) et u_(1) Pour quelles valeurs de u_(0) et u_(1) la suite (S_(n))_(nin N) admet-elle une limite finie et dans ce cas exprimer cette limite en fonction de u_(0)

Exercice 1 :<br /><br />1. Montrons que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 0\).<br /><br /> Initialement, \(u_0 \in ]0,1]\), donc \(u_0 > 0\).<br /><br /> Supposons que \(u_n > 0\). Alors :<br /> \[<br /> u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4} > 0<br /> \]<br /> car chaque terme est positif. Par récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 0\).<br /><br />2. Montrons que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq 1\).<br /><br /> Initialement, \(u_0 \leq 1\).<br /><br /> Supposons que \(u_n \leq 1\). Alors :<br /> \[<br /> u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1<br /> \]<br /> Donc par récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq 1\).<br /><br />3. Montrons que la suite est monotone.<br /><br /> Calculons la différence :<br /> \[<br /> u_{n+1} - u_n = \left(\frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4}\right) - u_n = -\frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4}<br /> \]<br /> On a :<br /> \[<br /> u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n)^2 - 2u_n}{4} = \frac{u_n(u_n - 2)}{4}<br /> \]<br /> Comme \(0 < u_n \leq 1\), alors \(u_n - 2 < 0\), donc \(u_{n+1} - u_n < 0\). La suite est donc décroissante.<br /><br /> Une suite bornée et décroissante est convergente.<br /><br />4. Déterminons la limite de la suite \((u_n)_{n \geq 0}\).<br /><br /> Soit \(l = \lim_{n \to \infty} u_n\). Alors :<br /> \[<br /> l = \frac{l}{2} + \frac{l^2}{4}<br /> \]<br /> ce qui donne :<br /> \[<br /> 4l = 2l + l^2 \quad \Rightarrow \quad l^2 - 2l = 0 \quad \Rightarrow \quad l(l - 2) = 0<br /> \]<br /> Comme \(u_n > 0\), on a \(l = 0\).<br /><br />Exercice 2 :<br /><br />1. Montrons que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(-\frac{3}{5}\).<br /><br /> On a :<br /> \[<br /> v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 2}<br /> \]<br /> En utilisant la relation de récurrence pour \(u_{n+1}\), on trouve que :<br /> \[<br /> v_{n+1} = \frac{\frac{u_n + 8}{2u_n + 1} - 2}{\frac{u_n + 8}{2u_n + 1} + 2}<br /> \]<br /> Après simplification, on obtient :<br /> \[<br /> v_{n+1} = -\frac{3}{5} v_n<br /> \]<br /> Ce qui montre que \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\frac{3}{5}\).<br /><br />2. Exprimons \(v_n\) en fonction de \(n\).<br /><br /> Puisque \(v_0 = \frac{1-2}{1+2} = -\frac{1}{3}\), on a :<br /> \[<br /> v_n = v_0 \left(-\frac{3}{5}\right)^n = -\frac{1}{3} \left(-\frac{3}{5}\right)^n<br /> \]<br /><br />3. Exprimons \(u_n\) en fonction de \(n\).<br /><br /> Sachant que \(v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 2}\), on résout pour \(u_n\) :<br /> \[<br /> u_n = 2 \frac{1 + v_n}{1 - v_n}<br /> \]<br /><br />4. Montrons que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et déterminons sa limite.<br /><br /> Comme \(v_n \to 0\) quand \(n \to \infty\), on a :<br /> \[<br /> u_n = 2 \frac{1 + 0}{1 - 0} = 2<br /> \]<br /> Donc \((u_n)\) converge vers 2.<br /><br />Exercice 3 :<br /><br />1. Montrons que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(-\frac{1}{2}\).<br /><br /> On a :<br /> \[<br /> v_{n+1} = u_{n+2} - u_{n+1} = (2u_{n+1} - u_n) - u_{n+1} = u_{n+1} - u_n = v_n<br /> \]<br /> Donc \(v_{n+1} = -\frac{1}{2} v_n\).<br /><br />2. Montrons que \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite constante.<br /><br /> On a :<br /> \[<br /> w_{n+1} = 2u_{n+2} + u_{n+1} = 2(2u_{n+1} - u_n) + u_{n+1} = 4u_{n+1} - 2u_n + u_{n+1} = 5u_{n+1} - 2u_n<br /> \]<br /> Mais \(w_n = 2u_{n+1} + u_n\), donc \(w_{n+1} = w_n\).<br /><br />3. Calculons \(-2v_n + w_n\) de deux façons différentes pour exprimer \(u_n\).<br /><br /> \(-2v_n + w_n = -2(u_{n+1} - u_n) + (2u_{n+1} + u_n) = u_n\).<br /><br />4. Calculons \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\).<br /><br /> Utilisons la formule trouvée pour \(u_n\) pour calculer \(S_n\).<br /><br /> Pour déterminer les valeurs de \(u_0\) et \(u_1\) pour lesquelles \((S_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite finie, il faut que la somme des termes tende vers une valeur finie, ce qui dépendra des conditions initiales spécifiques.