2. Verifique se a aplicação T : M_(2)(R)arrow M_(2)(R) definida por T T(} w&x y&z ) é linear.

Para verificar se a aplicação T é linear, precisamos verificar se ela satisfaz duas propriedades: adição e multiplicação por escalar.<br /><br />1. Adição:<br />Seja $A = \begin{matrix} w_1 & x_1 \\ y_1 & z_1 \end{matrix}$ e $B = \begin{matrix} w_2 & x_2 \\ y_2 & z_2 \end{matrix}$, então $A + B = \begin{matrix} w_1 + w x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 & z_1 + z_2 \end{matrix}$.<br /><br />Aplicando T, temos:<br />$T(A + B) = T(\begin{matrix} w_1 + w_2 & x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 & z_1 + z_2 \end{matrix}) = \begin{matrix} 1 & (w_1 + w_2) - (z_1 + z_2) \\ (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) & 1 \end{matrix}$.<br /><br />Podemos ver que $T(A + B) = \begin{matrix} 1 & (w_1 - z_1) + (w_2 - z_2) \\ (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) & 1 \end{matrix} = \begin{matrix} 1 & (w_1 - z_1) + (w_2 - z_2) \\ (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) & 1 \end{matrix} = T(A) + T(B)$.<br /><br />Portanto, a aplicação T satisfaz a propriedade de adição.<br /><br />2. Multiplicação por escalar:<br />Seja $A = \begin{matrix} w & x \\ y & z \end{matrix}$ e $\lambda$ um escalar.<br /><br />Aplicando T, temos:<br />$T(\lambda A) = T(\begin{matrix} \lambda w & \lambda x \\ \lambda y & \lambda z \end{matrix}) = \begin{matrix} 1 & (\lambda w - \lambda z) \\ (\lambda x - \lambda y) & 1 \end{matrix}$.<br /><br />Podemos ver que $T(\lambda A) = \begin{matrix} 1 & \lambda (w - z) \\ \lambda (x - y) & 1 \end{matrix} = \lambda \begin{matrix} 1 & (w - z) \\ (x - y) & 1 \end{matrix} = \lambda T(A)$.<br /><br />Portanto, a aplicação T satisfaz a propriedade de multiplicação por escalar.<br /><br />Como a aplicação T satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que T é uma aplicação linear.