9 Determine o valor de p para que a equação 4x^2- -4x+2p-1=0 tenha raizes reais e differentes.

Para que a equação $4x^{2}-4x+2p-1=0$ tenha raízes reais e diferentes, o discriminante da equação deve ser maior que zero.<br /><br />O discriminante é dado pela fórmula $\Delta = b^{2}-4ac$, onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes da equação quadrática.<br /><br />Neste caso, temos $a=4$, $b=-4$ e $c=2p-1$. Substituindo esses valores na fórmula do discriminante, temos:<br /><br />$\Delta = (-4)^{2}-4(4)(2p-1)$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\Delta = 16-32(2p-1)$<br /><br />$\Delta = 16-64p+32$<br /><br />$\Delta = -64p+48$<br /><br />Agora, para que as raízes sejam reais e diferentes, o discriminante deve ser maior que zero:<br /><br />$\Delta > 0$<br /><br />$-64p+48 > 0$<br /><br />Isolando o termo com $p$, temos:<br /><br />$-64p > -48$<br /><br />Dividindo ambos os lados por $-64$ (e invertendo o sinal da desigualdade), obtemos:<br /><br />$p < \frac{3}{4}$<br /><br />Portanto, o valor de $p$ deve ser menor que $\frac{3}{4}$ para que a equação tenha raízes reais e diferentes.