Considere os cálculos das integrais: 1) int (x^3-x^2+x-1)/(1-x)dx=-int (x^3(x-1)+x-1)/(x-1)dx=-int ((x-1)(x^2+1))/(x-1)dx=-(x^3)/(3)-x+k,kin 2) int xcdot sqrt (z-1)dx=int (u+1)cdot sqrt (a)du=int w^(1)/(2)dx+int w^(1)/(2)dx=(2)/(5)(x-1)^(3)/(3)+(2)/(3)(x-1)^{(1)/(3) 3) int (2x^3+x^3)/(2sqrt (x^4)+x^3)dx=int (x^2(2x+1))/(2sqrt (4)cdot sqrt (4cdot x^4(x^2+x)))dx=int (1)/(2sqrt (i))dx=sqrt {x^ Escolha uma opção: a. Apenas (i) e (ii) são verdadeiras b. Apenas (iii) é verdadeira c. Apenas (i) e (iii) são verdadeiras d. Apenas (ii) é verdadeira C e. todas são verdadeiras

Vamos revisar cada uma das integrais apresentadas para verificar sua correção:<br /><br />1) <br />\[<br />\int \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{1-x}dx<br />\]<br /><br />Primeiro, simplificamos o numerador:<br />\[<br />x^3 - x^2 + x - 1 = x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + x - 1 = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)<br />\]<br /><br />Então, a integral se torna:<br />\[<br />\int \frac{(x - 1)(x^2 + 1)}{x - 1}dx = \int (x^2 + 1)dx = \int x^2 dx + \int 1 dx = \frac{x^3}{3} + x + C<br />\]<br /><br />Portanto, a integral correta é:<br />\[<br />\int \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{1-x}dx = \frac{x^3}{3} + x + C<br />\]<br /><br />2) <br />\[<br />\int x \cdot \sqrt{z-1} dx<br />\]<br /><br />Para resolver essa integral, fazemos a substituição \( z = x - 1 \), então \( dz = dx \) e \( x = z + 1 \):<br />\[<br />\int (z + 1) \cdot \sqrt{z - 1} dz<br />\]<br /><br />Expansão e simplificação:<br />\[<br />\int (z + 1) \cdot \sqrt{z - 1} dz = \int z \sqrt{z - 1} dz + \int \sqrt{z - 1} dz<br />\]<br /><br />Para resolver essas integrais, seria necessário fazer uma substituição adequada. No entanto, a expressão fornecida na questão parece incorreta:<br />\[<br />\int w^{\frac{1}{2}} dx + \int w^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{5}(x - 1)^{\frac{3}{3}} + \frac{2}{3}(x - 1)^{\frac{1}{3}}<br />\]<br /><br />3) <br />\[<br />\int \frac{2x^{+x^{3}}{2\sqrt{x^{4}+x^{3}}} dx<br />\]<br /><br />Simplificando o numerador:<br />\[<br />\int \frac{3x^3}{2\sqrt{x^4 + x^3}} dx = \int \frac{x^3}{2\sqrt{x^4 + x^3}} dx<br />\]<br /><br />Fazendo a substituição \( u = x^4 + x^3 \), então \( du = (4x^3 + 3x^2) dx \):<br />\[<br />\int \frac{x^3}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4x^3 + 3x^2} = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4x^3 + 3x^2}<br />\]<br /><br />Isso não simplifica diretamente para \( \sqrt{x} \).<br /><br />Portanto, a integral correta é:<br />\[<br />\int \frac{2x^{3}+x^{3}}{2\sqrt{x^{4}+x^{3}}}dx = \int \frac{x^3}{2\sqrt{x^4 + x^3}} dx<br />\]<br /><br />Com base na análise acima, nenhuma das integrais fornecidas está correta. Portanto, a resposta correta é:<br /><br />d. Apenas $(ii)$ é verdadeira