. Efetue a divisão do polinômio x^4+2x^2+x-3 por x^2+x

Para efetuar a divisão do polinômio \(x^{4}+2x^{2}+x-3\) por \(x^{2}+x\), podemos utilizar o método da divisão sintética. Vamos realizar a divisão passo a passo:<br /><br />1. **Divida o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:**<br /><br /> \[<br /> \frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}<br /> \]<br /><br /> Esse será o primeiro termo do quociente.<br /><br />2. **Multiplique o termo obtido pelo divisor e subtraia do dividendo:**<br /><br /> \[<br /> (x^{2})(x^{2}+x) = x^{3} + x^{2}<br /> \]<br /><br /> Subtraímos do dividendo:<br /><br /> \[<br /> (x^{4} + 2x^{2} + x - 3) - (x^{3} + x^{2}) = x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 3<br /> \]<br /><br />3. **Repita os passos com o novo polinômio resultante:**<br /><br /> \[<br /> \frac{-x^{3}}{x^{2}} = -x<br /> \]<br /><br /> Esse será o próximo termo do quociente.<br /><br />4. **Multiplique o termo obtido pelo divisor e subtraia do novo polinômio resultante:**<br /><br /> \[<br /> (-x)(x^{2} + x) = -x^{3} - x^{2}<br /> \]<br /><br /> Subtraímos do novo polinômio resultante:<br /><br /> \[<br /> (x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 3) - (-x^{3} - x^{2}) = 2x^{2} + x - 3<br /> \]<br /><br />5. **Repita os passos com o novo polinômio resultante:**<br /><br /> \[<br /> \frac{2x^{2}}{x^{2}} = 2<br /> \]<br /><br /> Esse será o próximo termo do quociente.<br /><br />6. **Multiplique o termo obtido pelo divisor e subtraia do novo polinômio resultante:**<br /><br /> \[<br /> (2)(x^{2} + x) = 2x^{2} + 2x<br /> \]<br /><br /> Subtraímos do novo polinômio resultante:<br /><br /> \[<br /> (2x^{2} + x - 3) - (2x^{2} + 2x) = -x - 3<br /> \]<br /><br />Portanto, o quociente da divisão é:<br /><br />\[<br />x^{2} - x + 2<br />\]<br /><br />E o resto é:<br /><br />\[<br />-x - 3<br />\]<br /><br />Assim, a divisão de \(x^{4}+2x^{2}+x-3\) por \(x^{2}+x\) resulta em:<br /><br />\[<br />x^{2} - x + 2 \quad \text{com resto} \quad -x - 3<br />\]