19. F(x,y)=xyi+3y^2j, r(t)=11r^4i+t^3j, 0leqslant tleqslant 1

Para encontrar a derivada de \( F \) em \( r(t) \), precisamos calcular o produto escalar entre \( F \) e a derivada de \( r(t) \) em relação a \( t \).<br /><br />Dado que \( F(x, y) = xyi + 3y^2j \) e \( r(t) = 11t^4i + t^3j \), podemos calcular a derivada de \( r(t) \) em relação a \( t \) como \( r'(t) = 44t^3i + 3t^2j \).<br /><br />Agora, podemos calcular o produto escalar entre \( F \) e \( r'(t) \) como \( F(r(t)) \cdot r'(t) = (11t^4 \cdot xy)i + (3t^3 \cdot 3y^2)j \).<br /><br />Portanto, a derivada de \( F \) em \( r(t) \) é \( F'(r(t)) = (11t^4 \cdot xy)i + (9t^3 \cdot y^2)j \).