3-79 A variável aleatória X tem uma distribuição binomial com n= 10 e p=0,01 Determine as seguintes probabilidades: (a) P(X=5) (c) P(Xgeqslant 9) (b) P(Xleqslant 2) (d) P(3leqslant Xlt 5) 3-80 A variável aleatória X tem uma distribuição binomial, com n= 10 e p=0,5 . Esquematize a função de probabilidade de X. (a) Qual é o valor mais provável de X? (b) Qual(is)é(são) o(s)valor(es) menos provável (is) de X? 3-81 Esquematize a função de probabilidade de uma distribuição binomial,com n=10 e p=0,01 e comente a forma da distribuição. (a) Qualéo valor mais provável de X? (b) Qualéo valor menos provável de X?

3-79<br />(a) Para calcular a probabilidade \( P(X=5) \) em uma distribuição binomial com \( n=10 \) e \( p=0,01 \), podemos usar a fórmula da distribuição binomial:<br /><br />\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />\[ P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot 0,01^5 \cdot (1-0,01)^{10-5} \]<br /><br />Calculando essa expressão, encontramos:<br /><br />\[ P(X=5) \approx 0,0000000001 \]<br /><br />(b) Para calcular a probabilidade \( P(X\leqslant 2) \), podemos somar as probabilidades de \( X \) ser igual a 0, 1 ou 2:<br /><br />\[ P(X\leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \]<br /><br />Usando a fórmula da distribuição binomial, temos:<br /><br />\[ P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0,01^0 \cdot (1-0,01)^{10-0} \]<br />\[ P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0,01^1 \cdot (1-0,01)^{10-1} \]<br />\[ P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0,01^2 \cdot (1-0,01)^{10-2} \]<br /><br />Somando essas probabilidades, encontramos:<br /><br />\[ P(X\leqslant 2) \approx 0,9999999999 \]<br /><br />(c) Para calcular a probabilidade \( P(X\geqslant 9) \), podemos somar as probabilidades de \( X \) ser igual a 9 ou 10:<br /><br />\[ P(X\geqslant 9) = P(X=9) + P(X=10) \]<br /><br />Usando a fórmula da distribuição binomial, temos:<br /><br />\[ P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0,01^9 \cdot (1-0,01)^{10-9} \]<br />\[ P(X=10) = \binom{10}{10} \cdot 0,01^{10} \cdot (1-0,01)^{10-10} \]<br /><br />Somando essas probabilidades, encontramos:<br /><br />\[ P(X\geqslant 9) \approx 0,0000000001 \]<br /><br />(d) Para calcular a probabilidade \( P(3\leqslant X<5) \), podemos somar as probabilidades de \( X \) ser igual a 3 ou 4:<br /><br />\[ P(3\leqslant X<5) = P(X=3) + P(X=4) \]<br /><br />Usando a fórmula da distribuição binomial, temos:<br /><br />\[ P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0,01^3 \cdot (1-0,01)^{10-3} \]<br />\[ P(X=4) = \binom{10}{4} \cdot 0,01^4 \cdot (1-0,01)^{10-4} \]<br /><br />Somando essas probabilidades, encontramos:<br /><br />\[ P(3\leqslant X<5) \approx 0,0000000001 \]<br /><br />3-80<br />(a) O valor mais provável de \( X \) em uma distribuição binomial com \( n=10 \) e \( p=0,5 \) é 5, pois a distribuição é simétrica e o valor médio é 5.<br /><br />(b) Os valores menos prováveis de \( X \) são 0 e 10, pois são os valores extremos da distribuição.<br /><br />3-81<br />(a) O valor mais provável de \( X \) em uma distribuição binomial com \( n=10 \) e \( p=0,01 \) é 0, pois a distribuição é assimétrica e a probabilidade de sucesso é muito baixa.<br /><br />(b) O valor menos provável de \( X \) é 10, pois é o valor máximo possível na distribuição.