Determine a derivada da função f(x)=1-sqrt (1+cos^2(e^x)) A (e^xcos(e^x))/(sqrt (1+cos^2)(e^x)) B (e^xcos^2(e^x))/(sqrt (1+cos^2)(e^x)) (e^xcos(e^x)sen(e^x))/(sqrt (1+cos^2)(e^x)) D (e^2cos(e^x)sen(e^x))/(1+cos^2)(e^(x)) E e^x-(cos(e^x)sen(e^x))/(1+cos^2)(e^(x))

Para determinar a derivada da função $f(x)=1-\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$, podemos usar a regra da cadeia e a derivada da função raiz quadrada.<br /><br />Primeiro, vamos derivar a função interna $\cos^2(e^x)$. A derivada de $\cos^2(e^x)$ em relação a $x$ é $2\cos(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos(e^x))$. Usando a derivada da função cosseno, temos $\frac{d}{dx}(\cos(e^x)) = -\sin(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$. A derivada de $e^x$ em relação a $x$ é $e^x$, então temos $\frac{d}{dx}(\cos(e^x)) = -\sin(e^x) \cdot e^x$.<br /><br />Agora, podemos usar a derivada de $\cos^2(e^x)$ para calcular a derivada de $1+\cos^2(e^x)$ em relação a $x$. A derivada de $1+\cos^2(e^x)$ em relação a $x$ é $\frac{d}{dx}(1+\cos^2(e^x)) = 0 + 2\cos(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos(e^x)) = 2\cos(e^x) \cdot (-\sin(e^x) \cdot e^x) = -2e^x\cos(e^x)\sin(e^x)$.<br /><br />Agora, podemos usar a derivada de $1+\cos^2(e^x)$ para calcular a derivada de $\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$ em relação a $x$. A derivada de $\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2\sqrt{1+\cos^2(e^x)}} \cdot \frac{d}{dx}(1+\cos^2(e^x)) = \frac{1}{2\sqrt{1+\cos^2(e^x)}} \cdot (-2e^x\cos(e^x)\sin(e^x)) = -\frac{e^x\cos(e^x)\sin(e^x)}{\sqrt{1+\cos^2(e^x)}}$.<br /><br />Finalmente, podemos usar a derivada de $\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$ para calcular a derivada de $1-\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$ em relação a $x$. A derivada de $1-\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$ em relação a $x$ é $\frac{d}{dx}(1-\sqrt{1+\cos^2(e^x)}) = 0 - \frac{1}{2\sqrt{1+\cos^2(e^x)}} \cdot \frac{d}{dx}(1+\cos^2(e^x)) = \frac{e^x\cos(e^x)\sin(e^x)}{\sqrt{1+\cos^2(e^x)}}$.<br /><br />Portanto, a derivada da função $f(x)=1-\sqrt{1+\cos^2(e^x)}$ é $\frac{e^x\cos(e^x)\sin(e^x)}{\sqrt{1+\cos^2(e^x)}}$, que corresponde à opção C.