42 Resolva em IR as inequações abaixo. a) 32^2x-1lt 4^2x+1 f) 7^xgt 0 b) ((1)/(25))^x+3geqslant ((1)/(5))^x+4 g) 3^xgt 7^x c) 5^xgt 1 h) (0,2)^2x+1gt (0,04)^3x+6 d) ((3)/(4))^x+2leqslant 1 i) (sqrt (2))^2x+1lt (sqrt (2))^4x+2 e) 2^xlt -1 j) (sqrt (0,5))^2x+1leqslant (sqrt (0,5))^x+4

Vamos resolver cada uma das inequações em IR:<br /><br />a) \(32^{2x-1} < 4^{2x+1}\)<br /><br />Primeiro, reescrevemos as bases como potências de 2:<br />\[ 32 = 2^5 \]<br />\[ 4 = 2^2 \]<br /><br />Substituindo, temos:<br />\[ (2^5)^{2x-1} < (2^2)^{2x+1} \]<br /><br />Simplificando os expoentes:<br />\[ 2^{10x-5} < 2^{4x+2} \]<br /><br />Como as bases são iguais, podemos comparar os expoentes:<br />\[ 10x - 5 < 4x + 2 \]<br /><br />Resolvendo a inequação:<br />\[ 10x - 4x < 2 + 5 \]<br />\[ 6x < 7 \]<br />\[ x < \frac{7}{6} \]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ x < \frac{7}{6} \]<br /><br />b) \(\left(\frac{1}{25}\right)^{x+3} \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{x+4}\)<br /><br />Reescrevendo as bases como potências de 5:<br />\[ \left(5^{-2}\right)^{x+3} \geq \left(5^{-1}\right)^{x+4} \]<br /><br />Simplificando os expoentes:<br />\[ 5^{-2(x+3)} \geq 5^{-1(x+4)} \]<br /><br />Como as bases são iguais, podemos comparar os expoentes:<br />\[ -2(x+3) \geq -1(x+4) \]<br /><br />Resolvendo a inequação:<br />\[ -2x - 6 \geq -x - 4 \]<br />\[ -2x + x \geq -4 + 6 \]<br />\[ -x \geq 2 \]<br />\[ x \leq -2 \]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ x \leq -2 \]<br /><br />c) \(5^x > 1\)<br /><br />Como \(5^0 = 1\), temos:<br />\[ 5^x > 1 \implies 5^x > 5^0 \implies x > 0 \]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ x > 0 \]<br /><br />d) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x+2} \leq 1\)<br /><br />Como \(\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1\), temos:<br />\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{x+2} \leq 1 \implies \left(\frac{3}{4}\right)^{x+2} \leq \left(\frac{3}{4}\right)^0 \implies x+2 \leq 0 \implies x \leq -2 \]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ x \leq -2 \]<br /><br />e) \(2^x < -1\)<br /><br />Como \(2^x\) é sempre positivo para qualquer \(x \in \mathbb{R}\), não há solução para esta inequação.<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ \text{Nenhuma} \]<br /><br />f) \(7^x > 0\)<br /><br />Como \(7^x\) é sempre positivo para qualquer \(x \in \mathbb{R}\), a inequação é sempre verdadeira.<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ x \in \mathbb{R} \]<br /><br />g) \(3^x > 7^x\)<br /><br />Reescrevendo a inequação:<br />\[ x > 7^x \implies 3 > 7^x \implies 3 > 7 \implies \text{Nunca verdadeira} \]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[ \text{Nenhuma} \]<br /><br />h) \((0,2)^{2x+1} > (0,04)^{3x+6}\)<br /><br />Reescrevendo as bases como potências de 2:<br />\[ (0,2) = 2^{-1} \]<br />\[ (0,04) = 2^{-2} \]<br /><br />Substituindo, temos:<br />\[ (2^{-1})^{2x+1} > (2^{-2})^{3x+6} \]<br /><br />Simplificando os expoentes:<br />\[ 2^{-2x-1} > 2^{-6x-12} \]<br /><br />Como as bases são iguais, podemos comparar os expoentes:<br />\[ -2x - 1 > -