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3-133.Astrônomos tratam o número de estrelas on can were orame do espaço como uma variavel aleatória de Poisson. A densidade na Galáxia Milky Way, na vizinhança de nosso sistema solar, é uma estrela por 16 anos-luz'. (a) Qualé a probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 anos-luz"? (b) Quantos anos-luz'de espaço têm de ser estudados de modo que a probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0.952

Pergunta

3-133.Astrônomos tratam o número de estrelas on can were orame
do espaço como uma variavel aleatória de Poisson. A densidade na
Galáxia Milky Way, na vizinhança de nosso sistema solar, é uma estrela
por 16 anos-luz'.
(a) Qualé a probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 anos-luz"?
(b) Quantos anos-luz'de espaço têm de ser estudados de modo que a
probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0.952

3-133.Astrônomos tratam o número de estrelas on can were orame do espaço como uma variavel aleatória de Poisson. A densidade na Galáxia Milky Way, na vizinhança de nosso sistema solar, é uma estrela por 16 anos-luz'. (a) Qualé a probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 anos-luz"? (b) Quantos anos-luz'de espaço têm de ser estudados de modo que a probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0.952

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VivianEspecialista · Tutor por 3 anos

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(a) Para calcular a probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 anos-luz, podemos usar a fórmula da distribuição de Poisson. A fórmula é dada por:<br /><br />P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2)<br /><br />Onde P(X < 2) é a soma das probabilidades de encontrar 0 ou 1 estrela em 16 anos-luz. A fórmula da distribuição de Poisson é:<br /><br />P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!<br /><br />Onde λ é o número médio de estrelas em 16 anos-luz, k é o número de estrelas e e é a constante de Euler (aproximadamente igual a 2.71828).<br /><br />Substituindo λ = 1 (pois há uma estrela por 16 anos-luz) e k = 0 ou k = 1 na fórmula, temos:<br /><br />P(X = 0) = (1^0 * e^(-1)) / 0! = e^(-1) ≈ 0.3679<br />P(X = 1) = (1^1 * e^(-1)) / 1! = e^(-1) ≈ 0.3679<br /><br />Portanto, P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0.3679 + 0.3679 ≈ 0.7358<br /><br />A probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 anos-luz é:<br /><br />P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) ≈ 1 - 0.7358 ≈ 0.2642<br /><br />(b) Para encontrar quantos anos-luz de espaço devem ser estudados de modo que a probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0.95, podemos usar a fórmula da distribuição de Poisson novamente. Neste caso, queremos encontrar o valor de λ para o qual P(X ≥ 1) > 0.95.<br /><br />P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)<br /><br />Substituindo P(X = 0) na fórmula, temos:<br /><br />P(X = 0) = (λ^0 * e^(-λ)) / 0! = e^(-λ)<br /><br />Portanto, P(X ≥ 1) = 1 - e^(-λ)<br /><br />Queremos que P(X ≥ 1) > 0.95, então:<br /><br />1 - e^(-λ) > 0.95<br />e^(-λ) < 0.05<br /><br />Tomando o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade, temos:<br /><br />-λ < ln(0.05)<br />λ > -ln(0.05) ≈ 2.996<br /><br />Portanto, devem ser estudados aproximadamente 3 anos-luz de espaço para que a probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0.95.
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