QUESTÃO 26 Qual o resto da divisão de P(x)=x^100-2x^51+1 por x^2-1 ? (A) -2x+2 (B) -4x+2 (C) x+3 (D) -4x (E) x-2

Para encontrar o resto da divisão de \( P(x) = x^{100} - 2x^{51} + 1 \) por \( x^2 - 1 \), podemos usar o Teorema das Restrições. Primeiro, vamos fatorar o divisor \( x^2 - 1 \) como \( (x - 1)(x + 1) \).<br /><br />Agora, vamos calcular os valores de \( P(1) \) e \( P(-1) \):<br /><br />\( P(1) = 1^{100} - 2 \cdot 1^{51} + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \)<br /><br />\( P(-1) = (-1)^{100} - 2 \cdot (-1)^{51} + 1 = 1 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \)<br /><br />Portanto, o resto da divisão de \( P(x) \) por \( x^2 - 1 \) é dado por \( R(x) = P(-1) = 4 \).<br /><br />Assim, a resposta correta é a opção (D) \( -4x \).