Raquel e Teresa precisav m encontrar uma fórmula explícita para a pr ogressão 100,50,25,12.5,ldots na qual o primeiro termo deve ser f(1) Raquel disse que a fórmula e f(n)=100cdot ((1)/(2))^n-1 e Teresa disse que a fórmula é f(n)=200cdot ((1)/(2))^n Quem está certa?

Vamos verificar as fórmulas propostas por Raquel e Teresa para determinar qual delas está correta.<br /><br />Primeiro, vamos analisar a sequência dada: \(100, 50, 25, 12.5, \ldots\).<br /><br />Observamos que cada termo é metade do termo anterior. Vamos verificar as fórmulas propostas:<br /><br />1. **Fórmula de Raquel:**<br /> \[<br /> f(n) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<br /> \]<br /><br /> Vamos calcular os primeiros termos usando essa fórmula:<br /> - Para \(n = 1\):<br /> \[<br /> f(1) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1-1} = 100 \cdot 1 = 100<br /> \]<br /> - Para \(n = 2\):<br /> \[<br /> f(2) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50<br /> \]<br /> - Para \(n = 3\):<br /> \[<br /> f(3) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25<br /> \]<br /> - Para \(n = 4\):<br /> \[<br /> f(4) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \cdot \frac{1}{8} = 12.5<br /> \]<br /><br /> A sequência obtida é \(100, 50, 25, 12.5, \ldots\), que corresponde exatamente à sequência dada.<br /><br />2. **Fórmula de Teresa:**<br /> \[<br /> f(n) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n}<br /> \]<br /><br /> Vamos calcular os primeiros termos usando essa fórmula:<br /> - Para \(n = 1\):<br /> \[<br /> f(1) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100<br /> \]<br /> - Para \(n = 2\):<br /> \[<br /> f(2) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 200 \cdot \frac{1}{4} = 50<br /> \]<br /> - Para \(n = 3\):<br /> \[<br /> f(3) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200 \cdot \frac{1}{8} = 25<br /> \]<br /> - Para \(n = 4\):<br /> \[<br /> f(4) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 200 \cdot \frac{1}{16} = 12.5<br /> \]<br /><br /> A sequência obtida é \(100, 50, 25, 12.5, \ldots\), queamente à sequência dada.<br /><br />Portanto, ambas as fórmulas de Raquel e Teresa são corretas. No entanto, a fórmula de Raquel é mais simples e diretamente correspondente ao padrão observado na sequência.