As três primeiras aproximações de y1.y2ey3 usando o método de Euler para o problema de valor inicial y'=1+y,y(0)=1 começando em x_(0)=0 e com dx=0,1 são iguais a: a. y_(1)=2,1;y_(2)=1,3ey_(3)=1,27 b y_(1)=0,5;y_(2)=2,33 ey_(3)=3,4 C. y_(1)=1,0;y_(2)=1,3 e y_(3)=1,27 d. y_(1)=1,2;y_(2)=1,42 e y_(3)=1,66 e. y_(1)=0,7;y_(2)=0,95 e y_(3)=1,10

Para resolver o problema de valor inicial usando o método de Euler, usamos a fórmula:<br /><br />\[ y_{n+1} = y_n + dx \cdot f(x_n, y_n) \]<br /><br />onde \( f(x, y) = 1 + y \).<br /><br />Dado que \( y(0) = 1 \), \( x_0 = 0 \) e \( dx = 0,1 \):<br /><br />1. Para \( y_1 \):<br /> \[ y_1 = y_0 + 0,1 \cdot (1 + y_0) = 1 + 0,1 \cdot (1 + 1) = 1 + 0,2 = 1,2 \]<br /><br />2. Para \( y_2 \):<br /> \[ y_2 = y_1 + 0,1 \cdot (1 + y_1) = 1,2 + 0,1 \cdot (1 + 1,2) = 1,2 + 0,22 = 1,42 \]<br /><br />3. Para \( y_3 \):<br /> \[ y_3 = y_2 + 0,1 \cdot (1 + y_2) = 1,42 + 0,1 \cdot (1 + 1,42) = 1,42 + 0,242 = 1,662 \]<br /><br />Arredondando para duas casas decimais, temos \( y_3 \approx 1,66 \).<br /><br />Portanto, as aproximações são: \( y_1 = 1,2 \), \( y_2 = 1,42 \) e \( y_3 = 1,66 \).<br /><br />A resposta correta é a opção d. \( y_{1}=1,2; y_{2}=1,42 \) e \( y_{3}=1,66 \).