II. Um ambientalista descobre que um certo tipo de arvore cresce de tal forma que sua altura h(t) apos t anos está mudando na taxa de h'(t)=0,2t^(2)/(3)+sqrt (t)pacute (e)s/ano Se a drvore tinha 2 pés de altura quando foi plantada, qual será sua altura em 27 anos? III. f estimado que t meses a partir de agora, a população de uma certa cidade esteja crescendo á taxa de 4+5t^(2)/(3) pessoas por mês. Se a população atual é de 10.000, qual será a população daqui 8 meses? IV. Uma biomassa está crescendo a taxa de M'(t)=0,5e^0,2tg/hr Em quanto a massa muda durante a segunda hora?

II. Para encontrar a altura da árvore em 27 anos, precisamos integrar a taxa de mudança da altura $h'(t)$ em relação ao tempo $t$. A integral de $h'(t)$ nos dará a função de altura $h(t)$ em função do tempo $t$. Em seguida, podemos substituir $t = 27$ na função $h(t)$ para encontrar a altura da árvore em 27 anos.<br /><br />A integral de $h'(t) = 0,2t^{\frac{2}{3}} + \sqrt{t}$ é dada por:<br /><br />$h(t) = \int (0,2t^{\frac{2}{3}} + \sqrt{t}) dt = 0,3t^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C$<br /><br />onde $C$ é a constante de integração.<br /><br />Sabemos que a árvore tinha 2 pés de altura quando foi plantada, ou seja, $h(0) = 2$. Substituindo isso na equação acima, encontramos $C = 2$.<br /><br />Portanto, a função de altura da árvore é dada por:<br /><br />$h(t) = 0,3t^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + 2$<br /><br />Agora, podemos substituir $t = 27$ na função $h(t)$ para encontrar a altura da árvore em 27 anos:<br /><br />$h(27) = 0,3(27)^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}(27)^{\frac{3}{2}} + 2 \approx 22,5$ pés<br /><br />Portanto, a altura da árvore em 27 anos será de aproximadamente 22,5 pés.<br /><br />III. Para encontrar a população da cidade daqui a 8 meses, precisamos integrar a taxa de crescimento da população $4 + 5t^{\frac{2}{3}}$ em relação ao tempo $t$. A integral de $4 + 5t^{\frac{2}{3}}$ nos dará a função de população $P(t)$ em função do tempo $t$. Em seguida, podemos substituir $t = 8$ na função $P(t)$ para encontrar a população da cidade daqui a 8 meses.<br /><br />A integral de $4 + 5t^{\frac{2}{3}}$ é dada por:<br /><br />$P(t) = \int (4 + 5t^{\frac{2}{3}}) dt = 4t + \frac{15}{3}t^{\frac{5}{3}} + C$<br /><br />onde $C$ é a constante de integração.<br /><br />Sabemos que a população atual é de 10.000, ou seja, $P(0) = 10.000$. Substituindo isso na equação acima, encontramos $C = 10.000$.<br /><br />Portanto, a função de população da cidade é dada por:<br /><br />$P(t) = 4t + \frac{15}{3}t^{\frac{5}{3}} + 10.000$<br /><br />Agora, podemos substituir $t = 8$ na função $P(t)$ para encontrar a população da cidade daqui a 8 meses:<br /><br />$P(8) = 4(8) + \frac{15}{3}(8)^{\frac{5}{3}} + 10.000 \approx 10.400$<br /><br />Portanto, a população da cidade daqui a 8 meses será de aproximadamente 10.400 pessoas.<br /><br />IV. Para encontrar a massa que muda durante a segunda hora, precisamos integrar a taxa de mudança da biomassa $M'(t)$ em relação ao tempo $t$. A integral de $M'(t)$ nos dará a função de massa $M(t)$ em função do tempo $t$. Em seguida, podemos calcular a diferença entre a massa no final da segunda hora e a massa no início da segunda hora para encontrar a massa que muda durante essa hora.<br /><br />A integral de $M'(t) = 0,5e^{0,2t}$ é dada por:<br /><br />$M(t) = \int 0,5e^{0,2t} dt = \frac{5}{2}e^{0,2t} + C$<br /><br />onde $C$ é a constante de integração.<br /><br />Sabemos que a biomassa está crescendo a partir de $t = 0$, então podemos assumir que $C = 0$.<br /><br />Portanto, a função de massa da biom