a Use a definição para calcular: a) log_(2)(1)/(4) f) log0,01 b) log_(3)sqrt (3) g) log_(9)(1)/(27) c) log_(8)16 h) log_(0,2)sqrt [3](25) d) log_(4)128 i) log_(1,25)0,64 e) log_(36)sqrt (6) j) log_((5)/(3))0,6

Vamos calcular cada uma das expressões usando as propriedades dos logaritmos:<br /><br />a) \( \log_{2}\frac{1}{4} \)<br /><br />Podemos reescrever \(\frac{1}{4}\) como \(2^{-2}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{2}\frac{1}{4} = \log_{2}(2^{-2}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{2}(2^{-2}) = -2 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(-2\).<br /><br />b) \( \log_{3}\sqrt{3} \)<br /><br />Podemos reescrever \(\sqrt{3}\) como \(3^{1/2}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{3}\sqrt{3} = \log_{3}(3^{1/2}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{3}(3^{1/2}) = \frac{1}{2} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{1}{2}\).<br /><br />c) \( \log_{8}16 \)<br /><br />Podemos reescrever 16 como \(8^{4/3}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{8}16 = \log_{8}(8^{4/3}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{8}(8^{4/3}) = \frac{4}{3} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{4}{3}\).<br /><br />d) \( \log_{4}128 \)<br /><br />Podemos reescrever 128 como \(4^{7/2}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{4}128 = \log_{4}(4^{7/2}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{4}(4^{7/2}) = \frac{7}{2} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{7}{2}\).<br /><br />e) \( \log_{36}\sqrt{6} \)<br /><br />Podemos reescrever \(\sqrt{6}\) como \(36^{1/4}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{36}\sqrt = \log_{36}(36^{1/4}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{36}(36^{1/4}) = \frac{1}{4} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{1}{4}\).<br /><br />f) \( \log 0,01 \)<br /><br />Podemos reescrever 0,01 como \(10^{-2}\). Portanto:<br /><br />\[ \log 0,01 = \log (10^{-2}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log (10^{-2}) = -2 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(-2\).<br /><br />g) \( \log_{9}\frac{1}{27} \)<br /><br />Podemos reescrever \(\frac{1}{27}\) como \(9^{-3/2}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{9}\frac{1}{27} = \log_{9}(9^{-3/2}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{9}(9^{-3/2}) = -\frac{3}{2} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(-\frac{3}{2}\).<br /><br />h) \( \log_{0,2}\sqrt[3]{25} \)<br /><br />Podemos reescrever \(\sqrt[3]{25}\) como \(25^{1/3}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{0,2}\sqrt[3]{25} = \log_{0,2}(25^{1/3}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{0,2}(25^{1/3}) = \frac{\log 25}{3 \log 0,2} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{\log 25}{3 \log 0,2}\).<br /><br />i) \( \log_{1,25}0,64 \)<br /><br />Podemos reescrever 0,64 como \(1,25^{-2}\). Portanto:<br /><br />\[ \log_{1,25}0,64 = \log_{1,25}(1,25^{-2}) \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de potência:<br /><br />\[ \log_{1,25}(1,25