Para o cálculo de uma integral definida recorremos ao Teorema Fundamental do Cálculo, considerando as suas duas partes, e consideran podem ser estabelecidas entre derivadas e integrais a partir do conceito de primitiva. Diante desse tema, analise os itens a seguir: int _(0)^2(x^3-5x+2)dx=0 II.int _(0)^2pi 2cos(x)dx=pi III.int _(0)^4sqrt (x)dx=(16)/(3) IV. int _(0)^pi (sen(x)+1)dx=2+pi Os itens que apresentam resultados corretos para as respectivas integrals sáo apenas: Selecione uma alternativa: a) le II. C b) le III. c) IIe IV. d) III e IV. e) I, IIe III.

Para resolver essa questão, vamos analisar cada item e verificar se os resultados apresentados estão corretos.<br /><br />I. $\int _{0}^{2}(x^{3}-5x+2)dx=0$<br /><br />Para calcular essa integral, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, encontramos a primitiva da função $f(x) = x^3 - 5x + 2$, que é $\frac{x^4}{4} - \frac{5x^2}{2} + 2x$. Em seguida, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:<br /><br />$\int _{0}^{2}(x^{3}-5x+2)dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{5x^2}{2} + 2x\right]_{0}^{2}$<br /><br />Substituindo os limites:<br /><br />$\int _{0}^{2}(x^{3}-5x+2)dx = \left[\frac{2^4}{4} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2\right] - \left[\frac{0^4}{4} - \frac{5 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0\right]$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$\int _{0}^{2}(x^{3}-5x+2)dx = \left[\frac{16}{4} - \frac{20}{2} + 4\right] - \left[0 - 0 + 0\right]$<br /><br />$\int _{0}^{2}(x^{3}-5x+2)dx = \left[4 - 10 + 4\right] - 0$<br /><br />$\int _{0}^{2}(x^{3}-5x+2)dx = -2$<br /><br />Portanto, o resultado apresentado no item I está incorreto.<br /><br />II. $\int _{0}^{2\pi }2cos(x)dx=\pi $<br /><br />Para calcular essa integral, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, encontramos a primitiva da função $f(x) = 2\cos(x)$, que é $2\sin(x)$. Em seguida, aplicamos os limites de integração de 0 a $2\pi$:<br /><br />$\int _{0}^{2\pi }2cos(x)dx = \left[2\sin(x)\right]_{0}^{2\pi}$<br /><br />Substituindo os limites:<br /><br />$\int _{0}^{2\pi }2cos(x)dx = \left[2\sin(2\pi) - 2\sin(0)\right]$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$\int _{0}^{2\pi }2cos(x)dx = \left[2 \cdot 0 - 2 \cdot 0\right]$<br /><br />$\int _{0}^{2\pi }2cos(x)dx = 0$<br /><br />Portanto, o resultado apresentado no item II está incorreto.<br /><br />III. $\int _{0}^{4}\sqrt {x}dx=\frac {16}{3}$<br /><br />Para calcular essa integral, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, encontramos a primitiva da função $f(x) = \sqrt{x}$, que é $\frac{2x^{3/2}}{3}$. Em seguida, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:<br /><br />$\int _{0}^{4}\sqrt {x}dx = \left[\frac{2x^{3/2}}{3}\right]_{0}^{4}$<br /><br />Substituindo os limites:<br /><br />$\int _{0}^{4}\sqrt {x}dx = \left[\frac{2 \cdot 4^{3/2}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3/2}}{3}\right]$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$\int _{0}^{4}\sqrt {x}dx = \left[\frac{2 \cdot 8}{3} - 0\right]$<br /><br />$\int _{0}^{4}\sqrt {x}dx = \frac{16}{3}$<br /><br />Portanto, o resultado apresentado no item III está correto.<br /><br />IV. $\int _{0}^{\pi }(sen(x)+1)dx=2+\pi $<br /><br />Para calcular essa integral, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, encontramos a primitiva da função $f(x) = \sin(x) + 1$, que é $-\cos(x) + x$. Em seguida, aplic