Exemplo 2. 0 lucro de uma fabrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x)=-5x^2+100x-80 , onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: a) 0 lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

Para determinar o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos, precisamos encontrar o valor máximo da função de lucro \(L(x) = -5x^2 + 100x - 80\).<br /><br />A função de lucro é uma função quadrática, e seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente do termo \(x^2\) é negativo, a parábola é voltada para baixo, indicando que o lucro máximo ocorre no vértice da parábola.<br /><br />Para encontrar o vértice de uma parábola dada por uma função quadrática \(ax^2 + bx + c\), podemos usar a fórmula \(x = -\frac{b}{2a}\).<br /><br />No caso da função \(L(x) = -5x^2 + 100x - 80\), temos \(a = -5\) e \(b = 100\). Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:<br /><br />\(x = -\frac{100}{2(-5)} = \frac{100}{10} = 10\)<br /><br />Portanto, o número de produtos que maximiza o lucro é \(x = 10\).<br /><br />Agora, podemos substituir esse valor de \(x\) na função \(L(x)\) para encontrar o lucro máximo:<br /><br />\(L(10) = -5(10)^2 + 100(10) - 80 = -5(100) + 1000 - 80 = -500 + 1000 - 80 = 420\)<br /><br />Portanto, o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos é de 420 reais.