9. int _(c)xyzds C: x=2sent,y=t,z=-2cost,0leqslant tleqslant pi

Para resolver a integral de linha dada, podemos usar a fórmula da integral de linha:<br /><br />$\int_C f(x,y,z) ds = \int_a^b f(r(t)) \left| \frac{dr}{dt} \right| dt$<br /><br />onde $r(t)$ é a parametrização da curva $C$.<br /><br />Dada a parametrização $x=2\sin(t)$, $y=t$, $z=-2\cos(t)$, podemos calcular a derivada de $r(t)$ em relação a $t$:<br /><br />$\frac{dr}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \left( 2\cos(t), 1, 2\sin(t) \right)$<br /><br />A magnitude de $\frac{dr}{dt}$ é:<br /><br />$\left| \frac{dr}{dt} \right| = \sqrt{(2\cos(t))^2 + 1^2 + (2\sin(t))^2} = \sqrt{4\cos^2(t) + 1 + 4\sin^2(t)} = \sqrt{4(\cos^2(t) + \sin^2(t)) + 1} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$<br /><br />Agora podemos calcular a integral de linha:<br /><br />$\int_0^\pi xyz ds = \int_0^\pi (2\sin(t) \cdot t \cdot -2\cos(t)) \sqrt{5} dt = -4\int_0^\pi \sin(t) t \cos(t) \sqrt{5} dt$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a substituição $u = \sin(t)$, $du = \cos(t) dt$. A integral se torna:<br /><br />$-4\sqrt{5}\int_0^1 ut du = -4\sqrt{5}\left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = -4\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = -2\sqrt{5}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é $-2\sqrt{5}$.