8) Dados os vetores overrightarrow (a)=(4,3,-2) e overrightarrow (b)=(-8,-3,3) pede-se determinar o vetor unitário overrightarrow (u) paralelo e de mesmo sentido que o vetor overrightarrow (a)wedge overrightarrow (b)

Para determinar o vetor unitário \(\overrightarrow{u}\) paralelo e de mesmo sentido que o vetor \(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}\), precisamos calcular o produto vetorial entre \(\overrightarrow{a}\) e \(\overrightarrow{b}\), e depois normalizar o resultado.<br /><br />O produto vetorial entre dois vetores \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\) e \(\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\) é dado por:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />a_1 & a_2 & a_3 \\<br />b_1 & b_2 & b_3<br />\end{vmatrix}<br />\]<br /><br />onde \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}\) são os vetores unitários nas direções \(x\), \(y\) e \(z\), respectivamente.<br /><br />Aplicando a fórmula do determinante, temos:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = \mathbf{i}(a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2) - \mathbf{j}(a_1 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_1) + \mathbf{k}(a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1)<br />\]<br /><br />Substituindo os valores dos vetores \(\overrightarrow{a} = (4, 3, -2)\) e \(\overrightarrow{b} = (-8, -3, 3)\), temos:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = \mathbf{i}(3 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(4 \cdot 3 - (-2) \cdot (-8)) + \mathbf{k}(4 \cdot (-3) - 3 \cdot (-8))<br />\]<br /><br />Simplificando cada componente, obtemos:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = \mathbf{i}(9 - 6) - \mathbf{j}(12 - 16) + \mathbf{k}(-12 + 24)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(12)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 12\mathbf{k}<br />\]<br /><br />Agora, para encontrar o vetor unitário \(\overrightarrow{u}\) paralelo a \(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}\), normalizamos \(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}\) dividindo-o pelo seu módulo:<br /><br />\[<br />|\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13<br />\]<br /><br />Portanto, o vetor unitário \(\overrightarrow{u}\) é dado por:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}|} = \frac{3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 12\mathbf{k}}{13} = \frac{3}{13}\mathbf{i} + \frac{4}{13}\mathbf{j} + \frac{12}{13}\mathbf{k}<br />\]<br /><br />Assim, o vetor unitário \(\overrightarrow{u}\) paralelo e de mesmo sentido que o vetor \(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}\) é:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{u} = \frac{3}{13}\mathbf{i} + \frac{4}{13}\mathbf{j} + \frac{12}{13}\mathbf{k}<br />\]